Realice la gráca de las siguientes funciones para determinar si el límite existe o no.
a. limx−→0
f(x), donde f(x) = (

x + 3, si x < 0;
−x + 3, si x ≥ 0

b. limx−→2
f(x), donde f(x) = (

x, si x < 2;
x + 1, si x ≥ 2

c. limx−→2
f(x), donde f(x) =



x
2 − 2x, si x < 2;
1, si x = 2;
x
2 − 6x + 8, si x > 2

d. limx−→0
f(x), donde f(x) =



x
2
, si x < 0;
2, si x = 0;
√
x − 1, si x > 0

Vamos a analizar cada una de las funciones dadas y estudiar los límites en los puntos mencionados:

### a. \(\lim_{x \to 0} f(x)\), donde

\[
f(x) = 
\begin{cases} 
x + 3, & \text{si } x < 0 \\
-x + 3, & \text{si } x \geq 0 
\end{cases}
\]

- **Límite por la izquierda (\(x \to 0^{-}\))**: Cuando \(x < 0\), la función es \(f(x) = x + 3\).
  \[
  \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} (x + 3) = 0 + 3 = 3.
  \]

- **Límite por la derecha (\(x \to 0^{+}\))**: Cuando \(x \geq 0\), la función es \(f(x) = -x + 3\).
  \[
  \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} (-x + 3) = -0 + 3 = 3.
  \]

- **Conclusión**: Como los límites por la izquierda y la derecha son iguales y valen 3, el límite existe y es:
  \[
  \lim_{x \to 0} f(x) = 3.
  \]

---

### b. \(\lim_{x \to 2} f(x)\), donde

\[
f(x) = 
\begin{cases} 
x, & \text{si } x < 2 \\
x + 1, & \text{si } x \geq 2 
\end{cases}
\]

- **Límite por la izquierda (\(x \to 2^{-}\))**: Cuando \(x < 2\), la función es \(f(x) = x\).
  \[
  \lim_{x \to 2^{-}} f(x) = \lim_{x \to 2^{-}} x = 2.
  \]

- **Límite por la derecha (\(x \to 2^{+}\))**: Cuando \(x \geq 2\), la función es \(f(x) = x + 1\).
  \[
  \lim_{x \to 2^{+}} f(x) = \lim_{x \to 2^{+}} (x + 1) = 2 + 1 = 3.
  \]

- **Conclusión**: Como los límites por la izquierda y la derecha no son iguales, el límite no existe:
  \[
  \lim_{x \to 2} f(x) \text{ no existe}.
  \]

---

### c. \(\lim_{x \to 2} f(x)\), donde

\[
f(x) = 
\begin{cases} 
x^2 - 2x, & \text{si } x < 2 \\
1, & \text{si } x = 2 \\
x^2 - 6x + 8, & \text{si } x > 2 
\end{cases}
\]

- **Límite por la izquierda (\(x \to 2^{-}\))**: Cuando \(x < 2\), la función es \(f(x) = x^2 - 2x\).
  \[
  \lim_{x \to 2^{-}} f(x) = \lim_{x \to 2^{-}} (x^2 - 2x) = 2^2 - 2 \cdot 2 = 4 - 4 = 0.
  \]

- **Límite por la derecha (\(x \to 2^{+}\))**: Cuando \(x > 2\), la función es \(f(x) = x^2 - 6x + 8\).
  \[
  \lim_{x \to 2^{+}} f(x) = \lim_{x \to 2^{+}} (x^2 - 6x + 8) = 2^2 - 6 \cdot 2 + 8 = 4 - 12 + 8 = 0.
  \]

- **Límite en el punto \(x = 2\)**: \(f(2) = 1\).

- **Conclusión**: Aunque los límites por la izquierda y la derecha son iguales a 0, el valor de la función en \(x = 2\) es 1, por lo que el límite no existe:
  \[
  \lim_{x \to 2} f(x) \text{ no existe}.
  \]

---

### d. \(\lim_{x \to 0} f(x)\), donde

\[
f(x) = 
\begin{cases} 
x^2, & \text{si } x < 0 \\
2, & \text{si } x = 0 \\
\sqrt{x} - 1, & \text{si } x > 0 
\end{cases}
\]

- **Límite por la izquierda (\(x \to 0^{-}\))**: Cuando \(x < 0\), la función es \(f(x) = x^2\).
  \[
  \lim_{x \to 0^{-}} f(x) = \lim_{x \to 0^{-}} x^2 = 0^2 = 0.
  \]

- **Límite por la derecha (\(x \to 0^{+}\))**: Cuando \(x > 0\), la función es \(f(x) = \sqrt{x} - 1\).
  \[
  \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} (\sqrt{x} - 1) = \sqrt{0} - 1 = -1.
  \]

- **Conclusión**: Como los límites por la izquierda y la derecha son distintos, el límite no existe:
  \[
  \lim_{x \to 0} f(x) \text{ no existe}.
  \]

---

### Resumen:
- a. \(\lim_{x \to 0} f(x) = 3\).
- b. \(\lim_{x \to 2} f(x)\) no existe.
- c. \(\lim_{x \to 2} f(x)\) no existe.
- d. \(\lim_{x \to 0} f(x)\) no existe.

¿Te gustaría detalles adicionales sobre alguno de los límites? Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se calculan los límites laterales?
2. ¿Qué significa que un límite no exista?
3. ¿Qué es una función continua?
4. ¿Cómo afecta el valor de una función en el punto al límite?
5. ¿Cómo se comportan las funciones definidas a trozos en los límites?

**Tip**: Para determinar si un límite existe, siempre compara los límites laterales: si son iguales, el límite existe.

Realice la gráca de las siguientes funciones para determinar si el límite existe o no. a. limx−→0 f(x), donde f(x) = ( x + 3, si x < 0; −x + 3, si x ≥ 0 b. limx−→2 f(x), donde f(x) = ( x, si x < 2; x + 1, si x ≥ 2 c. limx−→2 f(x), donde f(x) =    x 2 − 2x, si x < 2; 1, si x = 2; x 2 − 6x + 8, si x > 2 d. limx−→0 f(x), donde f(x) =    x 2 , si x < 0; 2, si x = 0; √ x − 1, si x > 0

Explore the detailed limit evaluation of various piecewise functions and learn how to determine if a limit exists. Understand the role of left-hand and right-hand limits, and how continuity affects the existence of limits at specific points. Suitable for Grades 11-12 students studying pre-calculus or calculus.

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