https://r2.erweima.ai/mathbot/image/1724719696860diijyema.jpg

Dadas las siguientes funciones, evalúe la existencia del límite en el valor indicado de X: 



Para determinar la existencia del límite de la función \( g(x) \) en \( x = 3 \), primero vamos a analizar la función por partes dada en la imagen.

La función \( g(x) \) está definida de la siguiente manera:

\[
g(x) = 
\begin{cases} 
2x^2 - x & \text{si } x < 3 \\
3 - x & \text{si } x \geq 3
\end{cases}
\]

Para que el límite en \( x = 3 \) exista, los límites laterales deben coincidir. Es decir, debemos calcular:

1. El límite cuando \( x \) tiende a 3 por la izquierda (\( x \to 3^- \)).
2. El límite cuando \( x \) tiende a 3 por la derecha (\( x \to 3^+ \)).

### 1. Límite por la izquierda (\( x \to 3^- \)):

Para \( x < 3 \), la función es \( g(x) = 2x^2 - x \). Entonces:

\[
\lim_{x \to 3^-} g(x) = \lim_{x \to 3^-} (2x^2 - x) = 2(3)^2 - 3 = 2(9) - 3 = 18 - 3 = 15
\]

### 2. Límite por la derecha (\( x \to 3^+ \)):

Para \( x \geq 3 \), la función es \( g(x) = 3 - x \). Entonces:

\[
\lim_{x \to 3^+} g(x) = \lim_{x \to 3^+} (3 - x) = 3 - 3 = 0
\]

### Evaluación de la existencia del límite:

Observamos que el límite por la izquierda es \( 15 \) y el límite por la derecha es \( 0 \). Como estos dos valores no coinciden, el límite de \( g(x) \) en \( x = 3 \) **no existe**.

¿Te gustaría más detalles sobre cómo evaluar estos límites o tienes alguna otra pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se definen los límites laterales y qué importancia tienen en la existencia del límite?
2. ¿Qué sucede si los límites laterales son iguales pero no coinciden con el valor de la función en ese punto?
3. ¿Cómo se analiza la continuidad de una función en un punto?
4. ¿Cuáles son las diferencias entre límites finitos y límites infinitos?
5. ¿Cómo se determinan los puntos de discontinuidad de una función?

**Tip:** Cuando los límites laterales de una función en un punto no coinciden, el límite en ese punto no existe, lo que puede indicar una discontinuidad de salto.

Explore how to determine the existence of a limit at x = 3 for a piecewise function g(x). Understand the significance of matching lateral limits and the conditions under which limits exist or do not exist. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation