Desarrollo de la actividad
Una empresa que importa productos de China quiere estimar el tiempo medio que transcurre desde 
que realiza la compra hasta que los productos están en la bodega. Por estudios anteriores, se sabe que 
estos datos tienen una distribución normal. Se toma una muestra de 15 compras y se encuentra que en 
promedio tardan en llegar 54 días. 
A continuación, realiza las siguientes actividades:
1. Si la desviación estándar de la población es de 8,1 días. Calcule un intervalo de confianza del 
93% para el verdadero tiempo medio que tardan en llegar los productos desde China.
2. Interprete el intervalo de confianza encontrado en el ejercicio 1.
3. Si de la muestra seleccionada se encuentra que la desviación estándar muestral es de 7,4 días. 
Calcule un intervalo de confianza del 95% para el verdadero tiempo medio que tardan en llegar 
los productos de China.
4. Interprete el intervalo de confianza encontrado en el ejercicio 3.

Para resolver este problema, es necesario calcular los intervalos de confianza para el tiempo medio que tardan en llegar los productos desde China. El cálculo dependerá de si usamos la desviación estándar de la población o la desviación estándar muestral.

### 1. Cálculo del intervalo de confianza del 93% utilizando la desviación estándar de la población (σ = 8,1 días):

Dado que conocemos la desviación estándar de la población, utilizaremos la distribución normal para calcular el intervalo de confianza.

- Tamaño de la muestra (\(n\)) = 15
- Media muestral (\(\bar{x}\)) = 54 días
- Desviación estándar de la población (\(\sigma\)) = 8,1 días
- Nivel de confianza = 93%

Primero, necesitamos encontrar el valor crítico \(z_{\alpha/2}\) correspondiente a un intervalo de confianza del 93%. Para esto, el valor de \(\alpha = 1 - 0,93 = 0,07\), y \(\alpha/2 = 0,035\). Buscamos en la tabla Z el valor correspondiente a \(0,035\), que es aproximadamente \(z_{\alpha/2} \approx 1,812\).

El intervalo de confianza se calcula con la fórmula:

\[
\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
\]

Sustituyendo los valores:

\[
54 \pm 1,812 \cdot \frac{8,1}{\sqrt{15}}
\]

Primero calculamos el error estándar:

\[
\frac{8,1}{\sqrt{15}} \approx 2,092
\]

Luego, calculamos el margen de error:

\[
1,812 \cdot 2,092 \approx 3,791
\]

Por lo tanto, el intervalo de confianza es:

\[
54 \pm 3,791 \rightarrow (50,209 \text{ días}, 57,791 \text{ días})
\]

### 2. Interpretación del intervalo de confianza encontrado en el ejercicio 1:

Podemos decir que estamos un 93% seguros de que el verdadero tiempo medio que tardan en llegar los productos desde China se encuentra entre 50,209 y 57,791 días.

### 3. Cálculo del intervalo de confianza del 95% utilizando la desviación estándar muestral (\(s = 7,4\) días):

Como ahora usamos la desviación estándar muestral, necesitamos emplear la distribución t de Student.

- Tamaño de la muestra (\(n\)) = 15
- Media muestral (\(\bar{x}\)) = 54 días
- Desviación estándar muestral (\(s\)) = 7,4 días
- Nivel de confianza = 95%
- Grados de libertad (\(df\)) = \(n-1 = 14\)

Buscamos en la tabla t de Student el valor crítico \(t_{\alpha/2}\) para 14 grados de libertad y un nivel de confianza del 95%. Este valor es aproximadamente \(t_{\alpha/2} \approx 2,145\).

El intervalo de confianza se calcula con la fórmula:

\[
\bar{x} \pm t_{\alpha/2} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}
\]

Sustituyendo los valores:

\[
54 \pm 2,145 \cdot \frac{7,4}{\sqrt{15}}
\]

Primero calculamos el error estándar:

\[
\frac{7,4}{\sqrt{15}} \approx 1,911
\]

Luego, calculamos el margen de error:

\[
2,145 \cdot 1,911 \approx 4,101
\]

Por lo tanto, el intervalo de confianza es:

\[
54 \pm 4,101 \rightarrow (49,899 \text{ días}, 58,101 \text{ días})
\]

### 4. Interpretación del intervalo de confianza encontrado en el ejercicio 3:

Podemos decir que estamos un 95% seguros de que el verdadero tiempo medio que tardan en llegar los productos desde China se encuentra entre 49,899 y 58,101 días.

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¿Te gustaría algún detalle adicional o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Qué diferencia existe entre un intervalo de confianza calculado con la desviación estándar poblacional y otro con la desviación estándar muestral?
2. ¿Cómo afecta el tamaño de la muestra al intervalo de confianza?
3. ¿Qué pasaría con el intervalo de confianza si se aumenta el nivel de confianza al 99%?
4. ¿Qué interpretación tiene un valor \(z_{\alpha/2}\) o \(t_{\alpha/2}\)?
5. ¿Qué suposiciones debemos hacer para utilizar la distribución normal en el cálculo de intervalos de confianza?

### Tip:
Siempre que se desconozca la desviación estándar de la población y la muestra sea pequeña, se debe utilizar la distribución t de Student para calcular el intervalo de confianza.

Aprende a calcular intervalos de confianza para estimar el tiempo medio que tardan en llegar productos desde China utilizando desviación estándar de población y muestral. Ejemplo resuelto con datos concretos y explicación detallada.

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