Una empresa de material eléctrico fabrica bombillas de luz que tienen una duración aproximadamente distribuida de forma normal, con una desviación estándar de 40 horas. Si una muestra de 30 bombillas tiene una duración promedio de 780 horas, encuentre un intervalo de confianza de 96% para la media de la población de todas las bombillas que produce esta empresa.

Para encontrar un **intervalo de confianza** del 96% para la media de la población de bombillas fabricadas por la empresa, se puede seguir el siguiente procedimiento:

### 1. Datos del problema:
- Tamaño de la muestra (\(n\)): 30 bombillas
- Promedio de la muestra (\(\bar{x}\)): 780 horas
- Desviación estándar de la población (\(\sigma\)): 40 horas
- Nivel de confianza: 96%

### 2. Cálculo del valor crítico (z):
El nivel de confianza del 96% significa que estamos dejando un 4% de probabilidad en los extremos de la distribución normal. Como el intervalo de confianza es bilateral, ese 4% se divide en dos colas, es decir, 2% en cada lado. Necesitamos buscar el valor crítico \(z_{\alpha/2}\) que corresponde a una cola de 0.02.

El valor crítico de \(z_{\alpha/2}\) para un nivel de confianza del 96% es aproximadamente **2.05**.

### 3. Fórmula del intervalo de confianza:
El intervalo de confianza para la media de la población se calcula usando la fórmula:

\[
IC = \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \left( \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)
\]

Donde:
- \(\bar{x}\) es la media muestral
- \(z_{\alpha/2}\) es el valor crítico de la distribución normal
- \(\sigma\) es la desviación estándar de la población
- \(n\) es el tamaño de la muestra

### 4. Cálculo del error estándar:
El error estándar es:

\[
SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{40}{\sqrt{30}} \approx 7.306
\]

### 5. Cálculo del intervalo de confianza:
Ahora, utilizando el valor de \(z_{\alpha/2} = 2.05\), calculamos el margen de error:

\[
ME = z_{\alpha/2} \cdot SE = 2.05 \cdot 7.306 \approx 14.98
\]

Finalmente, el intervalo de confianza es:

\[
IC = 780 \pm 14.98
\]

Esto nos da un intervalo de confianza de:

\[
[780 - 14.98, 780 + 14.98] = [765.02, 794.98]
\]

### Respuesta:
El intervalo de confianza del 96% para la media de la población de bombillas es aproximadamente \([765.02, 794.98]\) horas.

¿Te gustaría más detalles sobre el proceso o alguna aclaración?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo cambiaría el intervalo de confianza si se aumentara el nivel de confianza al 99%?
2. ¿Qué pasaría si la muestra tuviera solo 20 bombillas en lugar de 30?
3. ¿Cómo influye el tamaño de la muestra en la precisión del intervalo de confianza?
4. ¿Qué ocurriría si la desviación estándar de la población fuera mayor?
5. ¿Cómo se calcularía el intervalo de confianza si no se conociera la desviación estándar de la población?

**Tip:** Recuerda que aumentar el nivel de confianza hace que el intervalo sea más amplio, ya que queremos tener más certeza de que la media verdadera se encuentra dentro del intervalo.

Learn how to calculate a 96% confidence interval for the mean lifetime of light bulbs with a standard deviation of 40 hours. This detailed solution includes key statistical concepts such as confidence intervals and the normal distribution. Example: A sample of 30 light bulbs has an average lifetime of 780 hours.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation