Resolva passo a passo a integral de 1/(x^2+4) 

Para resolver a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx\), podemos utilizar uma substituição trigonométrica apropriada, mas uma abordagem mais direta é reconhecer a forma padrão de uma integral que leva ao arco tangente. A integral que temos é semelhante à forma \(\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx\), cuja solução é conhecida. Vamos proceder passo a passo:

### Passo 1: Identifique a forma da integral

A integral dada é:

\[
\int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx
\]

Podemos escrever \(4\) como \(2^2\), então temos:

\[
\int \frac{1}{x^2 + 2^2} \, dx
\]

Agora, isso corresponde à forma geral:

\[
\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C
\]

### Passo 2: Aplicar a fórmula à integral

Aqui, \(a = 2\). Usando a fórmula, temos:

\[
\int \frac{1}{x^2 + 2^2} \, dx = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C
\]

### Passo 3: Escrever a solução final

A integral é, portanto:

\[
\int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx = \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{x}{2}\right) + C
\]

onde \(C\) é a constante de integração.

Essa é a solução passo a passo para a integral.

---

**Gostaria de mais detalhes ou tem alguma pergunta?**

Aqui estão algumas questões relacionadas que você pode explorar:

1. Como resolver a integral \(\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx\) para um valor genérico de \(a\)?
2. Como podemos utilizar substituições trigonométricas para resolver integrais desse tipo?
3. Qual é a relação entre as funções trigonométricas inversas e as integrais?
4. Como a integral \(\int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx\) se relaciona com a fórmula para a derivada do arco tangente?
5. Como resolver a integral \(\int \frac{x}{x^2 + 4} \, dx\)?

**Dica:** Ao trabalhar com integrais envolvendo expressões quadráticas, reconhecer padrões e saber aplicar fórmulas padrão pode simplificar o processo de resolução.

Learn how to solve the integral of 1/(x^2 + 4) step-by-step. This problem involves trigonometric substitution and the arctangent function, providing insights into integral calculus at the university level.

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