Para encontrar la fórmula enésima de la sucesión \(2, -4, 10, -28, \ldots\), podemos seguir estos pasos:

### Paso 1: Observación del signo alternante
Notamos que la secuencia alterna entre valores positivos y negativos. Podemos representar esto usando \( (-1)^{n+1} \), que alterna entre positivo y negativo dependiendo del valor de \( n \).

### Paso 2: Análisis de los valores absolutos de los términos
Consideremos los valores absolutos de la secuencia:
\[
2, 4, 10, 28, \ldots
\]

Podemos intentar relacionar estos números con alguna secuencia conocida. Al observar más de cerca:

- \(2 = 2 \times 1\)
- \(4 = 2 \times 2\)
- \(10 = 2 \times 5\)
- \(28 = 2 \times 14\)

Esto sugiere que los valores absolutos están relacionados con la secuencia de **números triangulares** multiplicados por 2.

### Paso 3: Fórmula de los números triangulares
Los números triangulares están dados por la fórmula:
\[
T_n = \frac{n(n+1)}{2}
\]
Multiplicando esto por 2, obtenemos:
\[
2T_n = n(n+1)
\]

### Paso 4: Incorporación del signo alternante
Para incluir el signo alternante, multiplicamos por \( (-1)^{n+1} \).

### Fórmula final
Por lo tanto, la fórmula enésima de la sucesión es:
\[
a_n = (-1)^{n+1} \times n(n+1)
\]

Donde:
- \( (-1)^{n+1} \) introduce el cambio de signo.
- \( n(n+1) \) proviene de los números triangulares multiplicados por 2.

### Ejemplo:
Para verificar, calculemos algunos términos:

- Para \( n = 1 \): \( a_1 = (-1)^{1+1} \times 1(1+1) = 1 \times 2 = 2 \)
- Para \( n = 2 \): \( a_2 = (-1)^{2+1} \times 2(2+1) = -1 \times 6 = -4 \)
- Para \( n = 3 \): \( a_3 = (-1)^{3+1} \times 3(3+1) = 1 \times 12 = 10 \)
- Para \( n = 4 \): \( a_4 = (-1)^{4+1} \times 4(4+1) = -1 \times 20 = -28 \)

Esto concuerda con la secuencia original.

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se derivan las fórmulas para números triangulares?
2. ¿Qué otras secuencias conocidas pueden relacionarse con una fórmula cuadrática?
3. ¿Cómo se aplica el análisis de signos alternantes en otras secuencias?
4. ¿Qué es una secuencia aritmética y cómo difiere de una secuencia cuadrática?
5. ¿Cómo se puede derivar la fórmula enésima para secuencias que involucran productos?
6. ¿Cómo se relacionan los números triangulares con otras figuras geométricas?
7. ¿Qué técnicas avanzadas existen para determinar la fórmula enésima de secuencias más complejas?
8. ¿Qué aplicaciones prácticas tienen las secuencias en problemas de la vida real?

### Tip:
Para encontrar la fórmula general de una sucesión, examina tanto los patrones en los valores absolutos como en los signos. Esto puede ayudarte a identificar tanto una fórmula algebraica como una expresión para el signo alternante.

Discover how to find the nth term formula of the sequence 2, -4, 10, -28, ... using triangular numbers and sign alternation. This problem involves identifying patterns in alternating signs and absolute values related to triangular numbers. Suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation