Hallar la Longitud del radio vector del punto de la parabola 
y^2+4x+2y-19=0, cuya ordenada es igµal a 3

Para hallar la longitud del radio vector (es decir, la distancia desde el origen) de un punto en la parábola dada, necesitamos primero encontrar las coordenadas de ese punto.

### Paso 1: Sustitución de la ordenada (y)
Dado que la ordenada \( y \) es igual a 3, sustituimos \( y = 3 \) en la ecuación de la parábola:

\[
y^2 + 4x + 2y - 19 = 0
\]

Sustituyendo \( y = 3 \):

\[
(3)^2 + 4x + 2(3) - 19 = 0
\]

\[
9 + 4x + 6 - 19 = 0
\]

\[
4x - 4 = 0
\]

### Paso 2: Resolver para \( x \)
Ahora, resolvemos la ecuación para \( x \):

\[
4x = 4
\]

\[
x = 1
\]

Por lo tanto, el punto en la parábola con ordenada 3 es \( (1, 3) \).

### Paso 3: Calcular el radio vector
El radio vector es la distancia desde el origen \( (0,0) \) al punto \( (1, 3) \). Utilizamos la fórmula de la distancia entre dos puntos:

\[
\text{Distancia} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
\]

Donde \( (x_1, y_1) = (0, 0) \) y \( (x_2, y_2) = (1, 3) \):

\[
\text{Distancia} = \sqrt{(1 - 0)^2 + (3 - 0)^2} = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}
\]

### Respuesta:
La longitud del radio vector del punto \( (1, 3) \) en la parábola es \( \sqrt{10} \).

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

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**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Cómo encontrar el foco de una parábola dada?
2. ¿Cómo se deriva la fórmula del radio vector?
3. ¿Qué otras propiedades se pueden calcular para una parábola dada?
4. ¿Cómo se interpreta geométricamente el radio vector en otras cónicas?
5. ¿Qué sucede si el origen no es el centro de la parábola?

**Tip:** Siempre verifica las soluciones sustituyendo los valores de vuelta en la ecuación original para confirmar su exactitud.

Learn how to calculate the radius vector length (distance from the origin) of a point on the parabola y^2 + 4x + 2y - 19 = 0, where y = 3. Includes step-by-step solution using the distance formula and substitution method. Suitable for advanced high school students.

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