1,3,3,5,5,5,7,7,7,7...的通项公式是什么

给定数列 \( 1, 3, 3, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, \ldots \)，其模式显示了随着数字增加，其重复的次数也增加。具体来看，数字 \( n \) 重复了 \( n \) 次。

要找到这个数列的通项公式，我们可以这样理解：

1. 数字 \( a_n \) 的值是与某个自然数 \( k \) 相关，其中 \( k \) 是当前数 \( n \) 在数列中属于第几段。即：第1段是1，包含1个1；第2段是3，包含2个3；第3段是5，包含3个5；依此类推。

2. 观察每一段的终点位置：第1段在第1个位置结束，第2段在第3个位置结束（1+2），第3段在第6个位置结束（1+2+3），第4段在第10个位置结束（1+2+3+4），依此类推。

3. 这些终点位置构成了一个三角形数列。即：第 \( k \) 段的终点位置是三角形数 \( T_k = \frac{k(k+1)}{2} \) 。

所以，要确定 \( a_n \) 的值，我们需要找到 \( n \) 属于哪一个三角形数对应的段落 \( k \)，然后相应地确定值为 \( 2k-1 \) 的数。

因此，这个数列的通项公式可以表示为：

\[
a_n = 2k - 1
\]

其中 \( k \) 是使得 \( T_{k-1} < n \leq T_k \) 的整数，即满足：

\[
\frac{k(k-1)}{2} < n \leq \frac{k(k+1)}{2}
\]

如果要进一步简化或确定 \( n \) 对应的具体值，可以根据不等式来求解 \( k \) 的值，然后代入公式即可。

你想了解关于这个公式的更多细节吗？或者你有其他问题吗？

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相关问题：

1. 如何推导三角形数的公式？
2. 可以给出三角形数列的前十项吗？
3. 如何判断某个数是否为三角形数？
4. 有其他类型的数列满足类似的重复规律吗？
5. 如何根据给定的通项公式编写一个算法来生成该数列？

**提示**: 在处理数列时，识别其模式和规律是解决问题的关键，尤其是当数列有明显的周期性或重复性时。

Explore how to derive the general formula for the sequence 1,3,3,5,5,5,7... using triangular numbers and pattern recognition. Understand the step-by-step approach to finding the formula a_n = 2k - 1 and how triangular number theory is applied.

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