fórmula enesima de 2/1, -4/2, 10/6, -28/24, ...

Para encontrar la fórmula general (o enésima) de la sucesión dada \( \frac{2}{1}, \frac{-4}{2}, \frac{10}{6}, \frac{-28}{24}, \ldots \), observemos primero las secuencias de los numeradores y denominadores por separado.

### Paso 1: Análisis del numerador
Los numeradores son: \( 2, -4, 10, -28, \ldots \)

Observamos que hay un patrón alternante de signo. Ignorando temporalmente los signos, consideremos la secuencia:

\( 2, 4, 10, 28, \ldots \)

Notamos que la secuencia parece relacionada con los números de la secuencia de los **números triangulares** multiplicados por una potencia. Por ejemplo:

- \( 2 = 2 \times 1 \)
- \( 4 = 2 \times 2 \)
- \( 10 = 2 \times 5 \)
- \( 28 = 2 \times 14 \)

Podemos observar que los numeradores son de la forma:
\[
a_n = (-1)^{n+1} \times 2 \times \text{Producto de factoriales}
\]

### Paso 2: Análisis del denominador
Los denominadores son: \( 1, 2, 6, 24, \ldots \)

Esta es una secuencia muy conocida: la secuencia factorial, \( n! \), que es el producto de todos los números enteros positivos hasta \( n \).

### Paso 3: Fórmula general

La fórmula enésima de la sucesión puede ser expresada como:

\[
\frac{a_n}{b_n} = \frac{(-1)^{n+1} \times 2 \times (n-1)!}{n!}
\]

Simplificando:

\[
\frac{a_n}{b_n} = \frac{(-1)^{n+1} \times 2}{n}
\]

Por lo tanto, la fórmula enésima de la sucesión es:

\[
\frac{a_n}{b_n} = \frac{(-1)^{n+1} \times 2}{n}
\]

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta adicional?

### Preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se derivan las secuencias triangulares?
2. ¿Qué otros tipos de patrones comunes existen en las sucesiones?
3. ¿Cómo se puede determinar una fórmula enésima utilizando diferencias finitas?
4. ¿Qué son las secuencias factoriales y cómo se aplican en matemáticas?
5. ¿Qué métodos existen para simplificar fracciones en una secuencia?
6. ¿Cómo afecta el signo alternante a la estructura de una sucesión?
7. ¿Cómo se puede determinar si una sucesión es convergente o divergente?
8. ¿Qué aplicaciones tienen las sucesiones en problemas de la vida real?

### Tip:  
Para encontrar la fórmula general de una sucesión, a menudo es útil descomponer el problema en partes más simples, como analizar los numeradores y denominadores por separado.

Explore the general formula for the sequence 2/1, -4/2, 10/6, -28/24, ... Understand the alternating signs pattern in numerators and the factorial sequence in denominators. Suitable for advanced high school students and those interested in mathematical sequences.

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