 Un dron se mueve en el plano xy a lo largo de la curva representada por
la funci´on vectorial
r(t) = (t − sin t)ˆi + (1 − cost)ˆj.
Encuentre los valores m´ınimos y m´aximos de ∥r
′∥ y ∥r
′′∥. Dar una interpretaci´on geometrica de estos valores (si es que existen).


Para resolver este problema, necesitamos encontrar los valores mínimos y máximos de las normas de las derivadas primera y segunda de la función vectorial \( r(t) = (t - \sin t)\hat{i} + (1 - \cos t)\hat{j} \). Luego interpretaremos geométricamente estos valores.

### Paso 1: Calcular \( r'(t) \)
Primero, derivamos la función vectorial \( r(t) \) con respecto a \( t \) para obtener la velocidad del dron.

\[
r'(t) = \frac{d}{dt} \left[(t - \sin t)\hat{i} + (1 - \cos t)\hat{j}\right]
\]
Derivando cada componente:

- Para la componente \( \hat{i} \): \( \frac{d}{dt} (t - \sin t) = 1 - \cos t \)
- Para la componente \( \hat{j} \): \( \frac{d}{dt} (1 - \cos t) = \sin t \)

Por lo tanto, la velocidad del dron es:

\[
r'(t) = (1 - \cos t)\hat{i} + (\sin t)\hat{j}
\]

### Paso 2: Calcular \( \|r'(t)\| \)
La norma de \( r'(t) \) es la magnitud de la velocidad:

\[
\|r'(t)\| = \sqrt{(1 - \cos t)^2 + (\sin t)^2}
\]

Usamos identidades trigonométricas:

\[
(1 - \cos t)^2 + (\sin t)^2 = 2(1 - \cos t)
\]

Por lo tanto:

\[
\|r'(t)\| = \sqrt{2(1 - \cos t)}
\]

Sabemos que \( \cos t \) oscila entre -1 y 1, por lo que \( \|r'(t)\| \) tomará valores entre:

- Mínimo: cuando \( \cos t = 1 \), \( \|r'(t)\| = 0 \)
- Máximo: cuando \( \cos t = -1 \), \( \|r'(t)\| = \sqrt{4} = 2 \)

### Paso 3: Calcular \( r''(t) \)
Ahora derivamos nuevamente la función vectorial \( r'(t) \) para obtener la aceleración del dron.

\[
r''(t) = \frac{d}{dt} \left[(1 - \cos t)\hat{i} + (\sin t)\hat{j}\right]
\]

Derivando cada componente:

- Para la componente \( \hat{i} \): \( \frac{d}{dt} (1 - \cos t) = \sin t \)
- Para la componente \( \hat{j} \): \( \frac{d}{dt} (\sin t) = \cos t \)

Por lo tanto, la aceleración es:

\[
r''(t) = (\sin t)\hat{i} + (\cos t)\hat{j}
\]

### Paso 4: Calcular \( \|r''(t)\| \)
La norma de \( r''(t) \) es la magnitud de la aceleración:

\[
\|r''(t)\| = \sqrt{(\sin t)^2 + (\cos t)^2} = \sqrt{1} = 1
\]

Por lo tanto, la aceleración siempre tiene una magnitud constante de 1.

### Interpretación geométrica

- El valor máximo de \( \|r'(t)\| = 2 \) ocurre cuando \( \cos t = -1 \), lo que significa que el dron se está moviendo a su velocidad máxima en ese momento.
- El valor mínimo de \( \|r'(t)\| = 0 \) ocurre cuando \( \cos t = 1 \), lo que significa que el dron se detiene momentáneamente.
- La aceleración \( \|r''(t)\| = 1 \) es constante, lo que indica que la magnitud de la fuerza que cambia la velocidad del dron es siempre la misma, aunque su dirección varía a lo largo del movimiento.

### Resumen
- \( \|r'(t)\| \) tiene un mínimo de 0 y un máximo de 2.
- \( \|r''(t)\| \) es constante y siempre igual a 1.

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo afectaría una variación en el tiempo \( t \) al comportamiento del dron en términos de velocidad?
2. ¿Qué significa geométricamente que la aceleración sea constante pero la velocidad varíe?
3. ¿Cómo se relaciona la curva de movimiento con el concepto de movimiento circular?
4. ¿Qué sucedería si modificamos la función original \( r(t) \) en términos de su velocidad?
5. ¿Cómo cambia el análisis si agregamos una tercera dimensión al movimiento del dron?

**Tip**: Las derivadas de las funciones vectoriales son útiles para estudiar cómo varían las cantidades físicas en el tiempo, como la velocidad y la aceleración en el movimiento de objetos.

Explore how to find the minimum and maximum values of the velocity and acceleration vectors for a drone moving along a parametric curve in the xy-plane. Understand the geometric interpretation of these values in the context of vector calculus and parametric curves.

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