Sejam E = R2 e V = {(1,1), (2, -1)} uma base de E. Dado o vetor W = (2, 5), se as coordenadas de W em relação à base V é dada por ﻿abre colchetes tabela linha com a linha com b fim da tabela fecha colchetes com V subscrito﻿, assinale a resposta correta:

Vamos resolver novamente o problema para determinar as coordenadas do vetor \( W = (2, 5) \) em relação à base \( V = \{(1, 1), (2, -1)\} \).

### Objetivo

Queremos expressar o vetor \( W = (2, 5) \) como uma combinação linear dos vetores da base \( V \). Assim, precisamos encontrar os valores de \( a \) e \( b \) tais que:

\[
W = a \cdot (1, 1) + b \cdot (2, -1)
\]

### Sistema de Equações

Vamos escrever isso como um sistema de equações:

1. \( a + 2b = 2 \)
2. \( a - b = 5 \)

### Resolvendo o Sistema

Vamos resolver o sistema utilizando substituição ou eliminação. Desta vez, vamos resolver por eliminação:

Multiplicamos a segunda equação por 2 para facilitar a eliminação:

\[
\begin{cases}
a + 2b = 2 \\
2a - 2b = 10
\end{cases}
\]

Agora somamos as duas equações:

\[
(a + 2b) + (2a - 2b) = 2 + 10
\]

\[
3a = 12
\]

\[
a = 4
\]

Agora, substituímos \( a = 4 \) na segunda equação original para encontrar \( b \):

\[
4 - b = 5
\]

\[
-b = 5 - 4
\]

\[
-b = 1
\]

\[
b = -1
\]

### Conclusão

As coordenadas de \( W \) em relação à base \( V \) são \( [4, -1]_V \). Assim, a resposta correta é a que indica \( a = 4 \) e \( b = -1 \).

### Verificação

Vamos verificar a solução:

\[
W = 4 \cdot (1, 1) + (-1) \cdot (2, -1)
\]

\[
W = (4, 4) + (-2, 1)
\]

\[
W = (4 - 2, 4 + 1) = (2, 5)
\]

Como a expressão final corresponde a \( W = (2, 5) \), a solução está correta.

### Resumo da Resposta

A resposta correta é a que indica que as coordenadas de \( W \) em relação à base \( V \) são:

\[
\begin{bmatrix}
4 \\
-1
\end{bmatrix}_V
\]

Se precisar de mais detalhes ou tiver alguma dúvida, por favor, avise! 

### Perguntas Relacionadas

1. Como determinar as coordenadas de um vetor em relação a uma base ortogonal?
2. Qual é a diferença entre bases ortogonais e bases não ortogonais?
3. Como encontrar uma base ortonormal a partir de uma base qualquer?
4. O que significa um vetor ser uma combinação linear de outros vetores?
5. Como calcular o determinante de uma matriz de mudança de base?

**Dica:** Sempre escreva o sistema de equações corretamente e verifique a solução para evitar erros comuns em cálculos algébricos.

Learn how to find the coordinates of vector W = (2, 5) in basis V = {(1, 1), (2, -1)} using linear algebra concepts. This problem involves solving a system of linear equations to express W as a linear combination of the basis vectors. Suitable for university-level students.

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