Escribir (2,3,4) como combinación lineal de los vectores
(1, −2,1), (−1, −1,4),(−2,1,3).

Para expresar el vector \(\mathbf{v} = (2, 3, 4)\) como una combinación lineal de los vectores \(\mathbf{u}_1 = (1, -2, 1)\), \(\mathbf{u}_2 = (-1, -1, 4)\) y \(\mathbf{u}_3 = (-2, 1, 3)\), necesitamos encontrar los escalares \(a\), \(b\) y \(c\) tales que:

\[
\mathbf{v} = a\mathbf{u}_1 + b\mathbf{u}_2 + c\mathbf{u}_3
\]

Esto se traduce en la siguiente ecuación de vectores:

\[
(2, 3, 4) = a(1, -2, 1) + b(-1, -1, 4) + c(-2, 1, 3)
\]

Desarrollando la expresión, obtenemos un sistema de ecuaciones lineales:

\[
(2, 3, 4) = (a - b - 2c, -2a - b + c, a + 4b + 3c)
\]

Igualando las componentes correspondientes, obtenemos:

1. Ecuación para la primera componente: \(a - b - 2c = 2\)
2. Ecuación para la segunda componente: \(-2a - b + c = 3\)
3. Ecuación para la tercera componente: \(a + 4b + 3c = 4\)

Ahora resolvamos este sistema de ecuaciones:

1. **Primera Ecuación:** \(a - b - 2c = 2\) \(\rightarrow\) \(a = 2 + b + 2c\)

2. **Sustituyendo en la Segunda Ecuación:**  
   \[
   -2(2 + b + 2c) - b + c = 3
   \]
   \[
   -4 - 2b - 4c - b + c = 3
   \]
   \[
   -5 - 3b - 3c = 3
   \]
   \[
   -3b - 3c = 8
   \]
   \[
   b + c = -\frac{8}{3}
   \]

3. **Sustituyendo \(b = -\frac{8}{3} - c\) en la Tercera Ecuación:**  
   \[
   a + 4\left(-\frac{8}{3} - c\right) + 3c = 4
   \]
   \[
   a - \frac{32}{3} - 4c + 3c = 4
   \]
   \[
   a - \frac{32}{3} - c = 4
   \]
   \[
   a = 4 + c + \frac{32}{3}
   \]
   \[
   a = \frac{44}{3} + c
   \]

4. **Usando \(b = -\frac{8}{3} - c\) y \(a = \frac{44}{3} + c\):**

   - Para \(c = 0\):  
     \[
     a = \frac{44}{3}, \quad b = -\frac{8}{3}
     \]
   
   - Para \(c = 1\):  
     \[
     a = \frac{47}{3}, \quad b = -\frac{11}{3}
     \]

Por tanto, la solución general es:

\[
a = \frac{44}{3} + c, \quad b = -\frac{8}{3} - c
\]

Y cualquier valor de \(c\) permitirá escribir \((2,3,4)\) como combinación lineal de \((1,-2,1), (-1,-1,4), (-2,1,3)\).

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**

1. ¿Qué significa una combinación lineal de vectores?
2. ¿Cómo saber si un conjunto de vectores es linealmente independiente?
3. ¿Qué implica que un vector se pueda escribir como combinación lineal de otros vectores?
4. ¿Cómo se puede resolver un sistema de ecuaciones lineales usando matrices?
5. ¿Qué aplicaciones tiene en la vida real la combinación lineal de vectores?

**Consejo:** Cuando se trabaja con combinaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales, el uso de matrices y métodos algebraicos, como la eliminación de Gauss, puede simplificar considerablemente la solución del problema.

Learn how to express the vector (2, 3, 4) as a linear combination of vectors (1, -2, 1), (-1, -1, 4), and (-2, 1, 3). This problem involves vector spaces, linear combinations, and solving systems of linear equations. Suitable for advanced undergraduate students studying linear algebra.

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