Escreva, se poss ́ıvel, ⃗w como combina ̧c ̃ao linear de ⃗v1, ⃗v2 e ⃗v3 :
a) ⃗v1 = (1, 1), ⃗v2 = (−1, 1), ⃗v3 = (3, 0) e ⃗w = (1, −4);

Para escrever o vetor \(\vec{w} = (1, -4)\) como uma combinação linear dos vetores \(\vec{v}_1 = (1, 1)\), \(\vec{v}_2 = (-1, 1)\) e \(\vec{v}_3 = (3, 0)\), precisamos encontrar coeficientes \(a\), \(b\) e \(c\) tais que:

\[
\vec{w} = a\vec{v}_1 + b\vec{v}_2 + c\vec{v}_3
\]

Substituindo os vetores:

\[
(1, -4) = a(1, 1) + b(-1, 1) + c(3, 0)
\]

Isso resulta em:

\[
(1, -4) = (a - b + 3c, a + b)
\]

Agora, igualamos as componentes correspondentes dos vetores:

\[
\begin{cases}
a - b + 3c = 1 \quad \text{(1ª componente)} \\
a + b = -4 \quad \text{(2ª componente)}
\end{cases}
\]

Vamos resolver esse sistema de equações.

### Passo 1: Resolver a segunda equação para \(a\):

\[
a = -4 - b
\]

### Passo 2: Substituir \(a\) na primeira equação:

\[
(-4 - b) - b + 3c = 1
\]

Simplificando:

\[
-4 - 2b + 3c = 1
\]

\[
-2b + 3c = 5
\]

### Passo 3: Resolver para \(b\) em função de \(c\):

\[
b = \frac{3c - 5}{2}
\]

### Passo 4: Substituir \(b\) na equação de \(a\):

\[
a = -4 - \frac{3c - 5}{2} = -\frac{8}{2} - \frac{3c}{2} + \frac{5}{2} = \frac{-3 - 3c}{2}
\]

### Solução Final

Então, os coeficientes \(a\), \(b\) e \(c\) são:

\[
a = \frac{-3 - 3c}{2}, \quad b = \frac{3c - 5}{2}, \quad c = c
\]

Portanto, \(\vec{w}\) pode ser escrito como:

\[
\vec{w} = \frac{-3 - 3c}{2}\vec{v}_1 + \frac{3c - 5}{2}\vec{v}_2 + c\vec{v}_3
\]

Esse é o conjunto de soluções para escrever \(\vec{w}\) como uma combinação linear de \(\vec{v}_1\), \(\vec{v}_2\) e \(\vec{v}_3\), dependendo do valor de \(c\).

---

Gostaria de mais detalhes ou tem alguma pergunta?  
Aqui estão algumas perguntas relacionadas:

1. Como verificar se um conjunto de vetores é linearmente independente?
2. Qual a interpretação geométrica de uma combinação linear?
3. O que significa encontrar coeficientes em uma combinação linear?
4. Como interpretar a solução em termos de subespaços vetoriais?
5. Quais condições são necessárias para que uma combinação linear tenha solução única?

**Dica:** Ao resolver sistemas lineares, use a substituição para simplificar a solução, especialmente em sistemas com múltiplas variáveis.

Learn how to express vector w = (1, -4) as a linear combination of vectors v1 = (1, 1), v2 = (-1, 1), and v3 = (3, 0). This problem involves solving a system of linear equations and understanding vector spaces. Suitable for undergraduate students studying linear algebra.

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