Sejam E = R2 e V = {(1,1), (2, -1)} uma base de E. Dado o vetor W = (2, 5), se as coordenadas de W em relação à base V é dada por ﻿abre colchetes tabela linha com a linha com b fim da tabela fecha colchetes com V subscrito﻿, assinale a resposta correta:+

Vamos resolver o problema determinando as coordenadas do vetor \( W = (2, 5) \) em relação à base \( V = \{(1, 1), (2, -1)\} \).

### Passo 1: Entendendo o problema

O vetor \( W = (2, 5) \) precisa ser expresso como uma combinação linear dos vetores da base \( V \). A base \( V \) é composta pelos vetores \( v_1 = (1, 1) \) e \( v_2 = (2, -1) \). Precisamos encontrar \( a \) e \( b \) tais que:

\[
W = a \cdot v_1 + b \cdot v_2
\]

Ou seja,

\[
(2, 5) = a \cdot (1, 1) + b \cdot (2, -1)
\]

### Passo 2: Escrevendo o sistema de equações

Podemos decompor isso em um sistema de equações lineares:

1. \( a \cdot 1 + b \cdot 2 = 2 \)
2. \( a \cdot 1 + b \cdot (-1) = 5 \)

Vamos reescrever o sistema de forma mais clara:

\[
\begin{cases}
a + 2b = 2 \\
a - b = 5
\end{cases}
\]

### Passo 3: Resolvendo o sistema

Podemos resolver esse sistema usando substituição ou eliminação. Vamos usar o método da substituição:

Primeiro, isolamos \( a \) na segunda equação:

\[
a = 5 + b
\]

Substituímos esse valor na primeira equação:

\[
(5 + b) + 2b = 2
\]

Simplificando:

\[
5 + 3b = 2
\]

\[
3b = 2 - 5
\]

\[
3b = -3
\]

\[
b = -1
\]

Agora, substituímos \( b = -1 \) na equação \( a = 5 + b \):

\[
a = 5 + (-1)
\]

\[
a = 4
\]

### Passo 4: Verificando a solução

As coordenadas de \( W \) em relação à base \( V \) são \( a = 4 \) e \( b = -1 \). Vamos verificar se isso está correto:

Substituímos \( a \) e \( b \) na combinação linear:

\[
W = 4 \cdot (1, 1) + (-1) \cdot (2, -1)
\]

Calculamos:

\[
W = (4, 4) + (-2, 1)
\]

\[
W = (4 - 2, 4 + 1)
\]

\[
W = (2, 5)
\]

Está correto!

### Resposta

As coordenadas de \( W \) em relação à base \( V = \{(1,1), (2,-1)\} \) são \( [4, -1]_V \). Portanto, a resposta correta é a que indica que \( a = 4 \) e \( b = -1 \).

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**Dica:** Sempre verifique suas soluções substituindo-as de volta nas equações originais para garantir que todos os cálculos estejam corretos.

Learn how to find the coordinates of vector W = (2, 5) in basis V = {(1,1), (2,-1)} using linear algebra concepts. Step-by-step solution provided.

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