encuentra el area de la funcion f(x)=x² -1 en el intervalo (1,4)

Para encontrar el área bajo la curva de la función \( f(x) = x^2 - 1 \) en el intervalo \((1, 4)\), necesitamos calcular la integral definida de \( f(x) \) desde \( x = 1 \) hasta \( x = 4 \).

La integral definida se expresa como:

\[
\text{Área} = \int_{1}^{4} (x^2 - 1) \, dx
\]

Vamos a resolver esta integral:

1. Calculamos la integral de cada término:

\[
\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}
\]
\[
\int -1 \, dx = -x
\]

2. Evaluamos la integral definida:

\[
\int_{1}^{4} (x^2 - 1) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} - x\right]_{1}^{4}
\]

3. Sustituimos los límites de integración:

Primero en \( x = 4 \):

\[
\left[\frac{4^3}{3} - 4\right] = \left[\frac{64}{3} - 4\right] = \frac{64}{3} - \frac{12}{3} = \frac{52}{3}
\]

Luego en \( x = 1 \):

\[
\left[\frac{1^3}{3} - 1\right] = \left[\frac{1}{3} - 1\right] = \frac{1}{3} - \frac{3}{3} = -\frac{2}{3}
\]

4. Restamos las evaluaciones:

\[
\text{Área} = \frac{52}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{52}{3} + \frac{2}{3} = \frac{54}{3} = 18
\]

Por lo tanto, el área bajo la curva \( f(x) = x^2 - 1 \) en el intervalo \((1, 4)\) es **18** unidades cuadradas.

¿Te gustaría ver más detalles o tienes alguna pregunta?

---

1. ¿Cómo se calcula la integral indefinida de una función polinómica?
2. ¿Qué significa evaluar una integral definida?
3. ¿Qué sucede si cambiamos los límites de integración?
4. ¿Cómo se interpreta el resultado de una integral negativa?
5. ¿Qué métodos alternativos existen para calcular áreas bajo curvas?

**Tip:** La integral definida se puede usar para calcular áreas bajo curvas, pero si la función está por debajo del eje \(x\), el área se considera negativa.

Learn how to find the area under the curve of f(x) = x^2 - 1 from x = 1 to x = 4 using definite integrals. This problem involves calculating the definite integral of a polynomial function and interpreting the area as a positive quantity. Suitable for students in Grades 11-12.

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