Para encontrar el área bajo la parábola \( y = -x^2 + 4 \) y sobre el eje \( x \), entre los puntos donde la parábola corta el eje \( x \), debemos integrar la función desde \( x = -2 \) hasta \( x = 2 \).

### Paso 1: Configurar la integral
El área \( A \) bajo la curva se puede encontrar usando la integral definida:
\[
A = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 4) \, dx
\]

### Paso 2: Calcular la integral
Ahora, integramos la función:
\[
\int (-x^2 + 4) \, dx = \int -x^2 \, dx + \int 4 \, dx
\]

Las integrales son:
\[
\int -x^2 \, dx = -\frac{x^3}{3} + C
\]
\[
\int 4 \, dx = 4x + C
\]

Entonces, la integral es:
\[
\int (-x^2 + 4) \, dx = -\frac{x^3}{3} + 4x
\]

### Paso 3: Evaluar la integral en los límites
Ahora, evaluamos esta función desde \( x = -2 \) hasta \( x = 2 \):
\[
A = \left[-\frac{x^3}{3} + 4x \right]_{-2}^{2}
\]

Primero, evaluamos en \( x = 2 \):
\[
-\frac{(2)^3}{3} + 4(2) = -\frac{8}{3} + 8 = \frac{24 - 8}{3} = \frac{16}{3}
\]

Ahora, evaluamos en \( x = -2 \):
\[
-\frac{(-2)^3}{3} + 4(-2) = -\frac{-8}{3} - 8 = \frac{8 - 24}{3} = \frac{-16}{3}
\]

Finalmente, el área es:
\[
A = \frac{16}{3} - \left(\frac{-16}{3}\right) = \frac{16}{3} + \frac{16}{3} = \frac{32}{3}
\]

### Respuesta
El área bajo la parábola y sobre el eje \( x \) es \( \frac{32}{3} \) unidades cuadradas.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Cómo se relaciona el área bajo una curva con la integral definida?
2. ¿Cómo se interpretan geométricamente los valores de las integrales negativas?
3. ¿Por qué evaluamos la función en los límites superior e inferior?
4. ¿Cómo se puede calcular el área bajo una curva si se conoce la función y los límites?
5. ¿Qué ocurre si la función es negativa en ciertos intervalos al calcular áreas?

### Consejo:
Cuando calculas el área bajo una curva utilizando la integral definida, es importante verificar el signo de la función en el intervalo dado, ya que una función negativa daría un área negativa, lo que debe ser interpretado como una resta al área total si consideras áreas por separado.

Learn how to calculate the area under the parabola y = -x^2 + 4 and above the x-axis using definite integration. This problem involves integrating a polynomial function and applying the Fundamental Theorem of Calculus. Suitable for university-level students.

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