Calcular el área de la región delimitada por la gráfica de cada función f(x) = x(x − 2) y las rectas verticales dadas por: x² = 1

Primero, vamos a reescribir el problema para entender mejor la situación. La función dada es:

\[
f(x) = x(x - 2) = x^2 - 2x
\]

Las rectas verticales están dadas por \( x^2 = 1 \). Resolviendo para \( x \), obtenemos:

\[
x = 1 \quad \text{y} \quad x = -1
\]

Entonces, el área que nos interesa calcular es la región delimitada por la función \( f(x) = x^2 - 2x \) y las rectas \( x = -1 \) y \( x = 1 \).

### Paso 1: Encontrar los límites de integración
Los límites de integración serán desde \( x = -1 \) hasta \( x = 1 \).

### Paso 2: Definir el área
El área bajo la curva \( f(x) \) entre \( x = -1 \) y \( x = 1 \) se puede calcular como la integral de la función \( f(x) \) en ese intervalo:

\[
A = \int_{-1}^{1} \left( x^2 - 2x \right) \, dx
\]

### Paso 3: Resolver la integral

Vamos a resolver la integral:

\[
\int (x^2 - 2x) \, dx = \int x^2 \, dx - \int 2x \, dx
\]

1. La integral de \( x^2 \) es \( \frac{x^3}{3} \)
2. La integral de \( 2x \) es \( x^2 \)

Por lo tanto, tenemos:

\[
\int (x^2 - 2x) \, dx = \frac{x^3}{3} - x^2
\]

Ahora evaluamos esta expresión entre los límites \( x = -1 \) y \( x = 1 \).

### Paso 4: Evaluar la integral

\[
A = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_{-1}^{1}
\]

Evaluamos en \( x = 1 \):

\[
\frac{1^3}{3} - 1^2 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}
\]

Evaluamos en \( x = -1 \):

\[
\frac{(-1)^3}{3} - (-1)^2 = \frac{-1}{3} - 1 = -\frac{1}{3} - 1 = -\frac{4}{3}
\]

Ahora restamos los valores:

\[
A = \left( -\frac{2}{3} \right) - \left( -\frac{4}{3} \right) = -\frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{2}{3}
\]

### Conclusión

El área de la región delimitada por la gráfica de la función \( f(x) = x(x - 2) \) y las rectas verticales \( x = -1 \) y \( x = 1 \) es \( \frac{2}{3} \).

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas Relativas:**
1. ¿Qué sucede si las rectas verticales cambian a otros valores de \(x\)?
2. ¿Cómo afecta cambiar la función \(f(x)\) en el área calculada?
3. ¿Cómo se calcula el área si la función cambia de cuadrática a cúbica?
4. ¿Cuál es el significado geométrico de la integral en este caso?
5. ¿Cómo se resolvería si se pide el área absoluta bajo la curva?

**Tip:** Siempre verifica si el área es negativa para asegurarte de usar el valor absoluto si es necesario.

Explore the process of calculating the area of the region bounded by the quadratic function f(x) = x(x - 2) and vertical lines at x² = 1. This problem introduces integral calculus and is suitable for students in Grades 10-12.

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