
Un escalfador elèctric d’aigua s’alimenta amb una tensió U=230V i consumeix una potència elèctrica Pelèctr=1,5kW. L’escalfador tarda 2h i 5min a escalfar un volum V=50L d’aigua des de T1=15°C fins a T2=65°C per mitjà d’una resistència elèctrica. La calor específica de l’aigua és ce=4,18kJ/(kg°C) i el cost de l’energia elèctrica és c=0,125€/(kWh). Determineu:


a)L’energia E necessària per a escalfar el volum V d’aigua des de T1 fins a T2.
b)L’energia elèctrica Eelèctr, en kWh, consumida per a escalfar el volum V d’aigua des de T1 fins a T2, i el cost celèctr de l’energia elèctrica necessària per a dur a terme aquest procés.
c)El rendiment η de l’escalfador elèctric d’aigua.
d)La resistivitat ρ del material de la resistència, si aquesta està formada per un fil conductor de diàmetre d=0,25mm i longitud L=1500mm.


Per resoldre aquest problema, cal abordar cada apartat per separat:

### **Dades del problema:**
- Tensió elèctrica \( U = 230 \, \text{V} \)
- Potència elèctrica \( P_{\text{elèctr}} = 1,5 \, \text{kW} = 1500 \, \text{W} \)
- Temps \( t = 2 \, \text{h} \, 5 \, \text{min} = 2,083 \, \text{h} = 7500 \, \text{s} \)
- Volum d'aigua \( V = 50 \, \text{L} = 50 \, \text{kg} \) (assumim que la densitat de l’aigua és \( 1 \, \text{kg/L} \))
- Temperatures inicial i final: \( T_1 = 15^\circ \text{C}, T_2 = 65^\circ \text{C} \)
- Calor específica de l’aigua \( c_e = 4,18 \, \text{kJ}/(\text{kg}^\circ \text{C}) = 4180 \, \text{J}/(\text{kg}^\circ \text{C}) \)
- Cost de l’energia \( c = 0,125 \, \text{€}/\text{kWh} \)
- Diàmetre del fil conductor \( d = 0,25 \, \text{mm} = 0,00025 \, \text{m} \)
- Longitud del fil conductor \( L = 1500 \, \text{mm} = 1,5 \, \text{m} \)

---

### **a) Energia necessària per a escalfar l’aigua \( E \):**

L'energia necessària per escalfar l'aigua es calcula mitjançant la següent fórmula de la calor:

\[
E = m \cdot c_e \cdot \Delta T
\]

On:
- \( m = 50 \, \text{kg} \) és la massa de l’aigua.
- \( c_e = 4180 \, \text{J}/(\text{kg}^\circ \text{C}) \) és la calor específica de l’aigua.
- \( \Delta T = T_2 - T_1 = 65^\circ \text{C} - 15^\circ \text{C} = 50^\circ \text{C} \).

Calculant:

\[
E = 50 \, \text{kg} \cdot 4180 \, \text{J}/(\text{kg}^\circ \text{C}) \cdot 50^\circ \text{C}
\]

---

### **b) Energia elèctrica consumida i cost:**

L'energia elèctrica consumida es pot calcular com:

\[
E_{\text{elèctr}} = P_{\text{elèctr}} \cdot t
\]

On:
- \( P_{\text{elèctr}} = 1,5 \, \text{kW} \)
- \( t = 2,083 \, \text{h} \)

Després, el cost de l'energia és:

\[
c_{\text{elèctr}} = E_{\text{elèctr}} \cdot c
\]

---

### **c) Rendiment de l’escalfador \( \eta \):**

El rendiment \( \eta \) es pot calcular com la relació entre l'energia tèrmica (l'energia necessària per escalfar l’aigua) i l'energia elèctrica consumida:

\[
\eta = \frac{E}{E_{\text{elèctr}}}
\]

---

### **d) Resistivitat del material \( \rho \):**

La resistència \( R \) del fil conductor es pot calcular a partir de la llei d'Ohm:

\[
P = \frac{U^2}{R} \quad \Rightarrow \quad R = \frac{U^2}{P_{\text{elèctr}}}
\]

Un cop coneguda la resistència, podem utilitzar la següent fórmula per calcular la resistivitat \( \rho \):

\[
R = \rho \cdot \frac{L}{A}
\]

On:
- \( A = \frac{\pi d^2}{4} \) és l'àrea de la secció transversal del fil.

Resolguem ara cada apartat!Aquí tens les solucions per a cadascun dels apartats:

### **a) Energia necessària per a escalfar el volum d’aigua:**
\[
E = 10.45 \, \text{MJ} = 10,450,000 \, \text{J}
\]

### **b) Energia elèctrica consumida i cost:**
- Energia elèctrica consumida: 
  \[
  E_{\text{elèctr}} = 3.125 \, \text{kWh}
  \]
- Cost de l'energia elèctrica:
  \[
  c_{\text{elèctr}} = 0.3906 \, \text{€}
  \]

### **c) Rendiment de l’escalfador:**
\[
\eta = 0.93 \, (93\%)
\]

### **d) Resistivitat del material de la resistència:**
\[
\rho = 1.15 \times 10^{-6} \, \Omega \cdot \text{m}
\]

Això vol dir que l’escalfador té un rendiment alt (93%) i la resistivitat del material del fil és pròpia d'un conductor com el coure.

---

### Preguntes relacionades:
1. Com afecta la variació de la temperatura inicial de l’aigua al consum elèctric?
2. Quin seria el cost si la potència de l’escalfador fos superior?
3. Com es calcula la resistència d'un conductor en funció de la seva longitud i material?
4. Què passaria amb el rendiment si es millora l’aïllament tèrmic de l’escalfador?
5. Com afectaria l'ús d'un escalfador amb una resistència de material diferent (per exemple, aliatges amb major resistivitat)?

**Tip:** Assegura't de conèixer la resistència del material quan dissenyes circuits elèctrics per evitar pèrdues d'eficiència.

Un escalfador elèctric d’aigua s’alimenta amb una tensió U=230V i consumeix una potència elèctrica Pelèctr=1,5kW. L’escalfador tarda 2h i 5min a escalfar un volum V=50L d’aigua des de T1=15°C fins a T2=65°C per mitjà d’una resistència elèctrica. La calor específica de l’aigua és ce=4,18kJ/(kg°C) i el cost de l’energia elèctrica és c=0,125€/(kWh). Determineu: a) L’energia E necessària per a escalfar el volum V d’aigua des de T1 fins a T2. b) L’energia elèctrica Eelèctr, en kWh, consumida per a escalfar el volum V d’aigua des de T1 fins a T2, i el cost celèctr de l’energia elèctrica necessària per a dur a terme aquest procés. c) El rendiment η de l’escalfador elèctric d’aigua. d) La resistivitat ρ del material de la resistència, si aquesta està formada per un fil conductor de diàmetre d=0,25mm i longitud L=1500mm.

Solve a detailed problem involving the energy required to heat 50L of water using a 230V electric heater with a 1.5kW power rating. Includes steps to calculate thermal energy, electrical consumption, heater efficiency, and resistivity of the heating element. Suitable for Grades 11-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation