Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(-2;5) y es perpendicular a la recta
 7x – 5y = 35


Para hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto \( P(-2, 5) \) y es perpendicular a la recta dada \( 7x - 5y = 35 \), seguimos los siguientes pasos:

### 1. Encontrar la pendiente de la recta dada

Primero, debemos escribir la ecuación dada en su forma pendiente-intersección (forma \( y = mx + b \)), donde \( m \) es la pendiente.

\[ 7x - 5y = 35 \]

Despejamos \( y \):

\[ -5y = -7x + 35 \]

\[ y = \frac{7}{5}x - 7 \]

Aquí, la pendiente \( m_1 \) de la recta dada es \( \frac{7}{5} \).

### 2. Determinar la pendiente de la recta perpendicular

La pendiente de una recta perpendicular a otra es el negativo del recíproco de la pendiente original. Si la pendiente de la recta original es \( m_1 = \frac{7}{5} \), entonces la pendiente de la recta perpendicular \( m_2 \) es:

\[ m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{\frac{7}{5}} = -\frac{5}{7} \]

### 3. Usar la fórmula punto-pendiente

Ahora utilizamos la fórmula punto-pendiente de la ecuación de la recta, que es:

\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]

Donde \( m \) es la pendiente y \( (x_1, y_1) \) es el punto por donde pasa la recta.

Sustituimos \( m = -\frac{5}{7} \) y \( (x_1, y_1) = (-2, 5) \):

\[ y - 5 = -\frac{5}{7}(x + 2) \]

### 4. Simplificar la ecuación

Distribuimos y simplificamos para encontrar la ecuación en forma general o en forma pendiente-intersección:

\[ y - 5 = -\frac{5}{7}x - \frac{10}{7} \]

\[ y = -\frac{5}{7}x + \frac{25}{7} \]

Esta es la ecuación de la recta perpendicular en su forma pendiente-intersección.

### 5. Convertir a la forma general (opcional)

Para tenerla en la forma general \( Ax + By + C = 0 \), multiplicamos todo por 7 para eliminar los denominadores:

\[ 7y = -5x + 25 \]

\[ 5x + 7y - 25 = 0 \]

Entonces, la ecuación de la recta perpendicular es:

\[ 5x + 7y - 25 = 0 \]

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

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**Preguntas Relacionadas:**

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4. ¿Qué es la forma pendiente-intersección de una recta y cómo se utiliza?
5. ¿Cómo se transforma una ecuación de una recta en forma pendiente-intersección a forma general?

**Tip:** Al trabajar con ecuaciones de rectas, siempre es útil expresar la pendiente primero para facilitar la manipulación de la ecuación.

Descubre cómo encontrar la ecuación de una recta perpendicular a 7x – 5y = 35 que pasa por el punto (-2, 5). Incluye una explicación detallada paso a paso con la fórmula punto-pendiente y la conversión a forma general. Ideal para estudiantes de secundaria interesados en geometría analítica.

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