Juana compró cierta cantidad de copas por 120 000 Gs. Si hubiera comprado 4 menos por el mismo dinero, cada copa le habría costado 8 000 Gs más. ¿Cuántas copas compró y cuál fue el precio unitario?

Sea \( x \) la cantidad de copas que Juana compró, y \( p \) el precio unitario de cada copa.

Sabemos que:
- El precio total pagado por todas las copas es \( 120\,000 \) Gs.
- Si hubiera comprado 4 copas menos por el mismo dinero, cada copa le habría costado 8\,000 Gs más.

Esto nos da dos ecuaciones:
1. El precio total es el número de copas por el precio unitario:
   \[
   x \cdot p = 120\,000
   \]
   De esta ecuación, podemos despejar \( p \) como:
   \[
   p = \frac{120\,000}{x}
   \]

2. Si hubiera comprado 4 copas menos, el nuevo precio unitario sería \( p + 8\,000 \), y el número de copas sería \( x - 4 \). Entonces, tenemos la siguiente ecuación:
   \[
   (x - 4) \cdot (p + 8\,000) = 120\,000
   \]
   Sustituimos \( p = \frac{120\,000}{x} \) en esta ecuación:
   \[
   (x - 4) \cdot \left( \frac{120\,000}{x} + 8\,000 \right) = 120\,000
   \]
   Ahora, resolvamos esta ecuación para encontrar el valor de \( x \).

### Resolviendo la ecuación

Primero, simplificamos el lado izquierdo de la ecuación:
\[
(x - 4) \cdot \left( \frac{120\,000}{x} + 8\,000 \right) = 120\,000
\]
Distribuimos el \( x - 4 \):
\[
(x - 4) \cdot \frac{120\,000}{x} + (x - 4) \cdot 8\,000 = 120\,000
\]
Simplificamos cada término:
\[
120\,000 \cdot \frac{x - 4}{x} + 8\,000 \cdot (x - 4) = 120\,000
\]
La primera parte se simplifica a:
\[
120\,000 \cdot \left( 1 - \frac{4}{x} \right) = 120\,000 - \frac{480\,000}{x}
\]
Entonces tenemos:
\[
120\,000 - \frac{480\,000}{x} + 8\,000 \cdot (x - 4) = 120\,000
\]
Distribuimos el \( 8\,000 \):
\[
120\,000 - \frac{480\,000}{x} + 8\,000x - 32\,000 = 120\,000
\]
Simplificamos:
\[
120\,000 - 32\,000 = 88\,000
\]
Entonces tenemos:
\[
88\,000 + 8\,000x - \frac{480\,000}{x} = 120\,000
\]
Restamos \( 88\,000 \) de ambos lados:
\[
8\,000x - \frac{480\,000}{x} = 32\,000
\]
Multiplicamos toda la ecuación por \( x \) para eliminar el denominador:
\[
8\,000x^2 - 480\,000 = 32\,000x
\]
Reorganizamos la ecuación:
\[
8\,000x^2 - 32\,000x - 480\,000 = 0
\]
Dividimos entre 8\,000 para simplificar:
\[
x^2 - 4x - 60 = 0
\]
Resolvemos esta ecuación cuadrática usando la fórmula general:
\[
x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-60)}}{2(1)}
\]
\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 240}}{2}
\]
\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{256}}{2}
\]
\[
x = \frac{4 \pm 16}{2}
\]
Por lo tanto, las soluciones son:
\[
x = \frac{4 + 16}{2} = 10 \quad \text{o} \quad x = \frac{4 - 16}{2} = -6
\]
Como el número de copas no puede ser negativo, tenemos \( x = 10 \).

### Precio unitario

Para encontrar el precio unitario \( p \), sustituimos \( x = 10 \) en la primera ecuación:
\[
p = \frac{120\,000}{10} = 12\,000 \, \text{Gs}
\]

### Respuesta:
Juana compró **10 copas** y el precio unitario fue de **12\,000 Gs**.

¿Te gustaría más detalles sobre los pasos? Aquí algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se obtiene la ecuación cuadrática a partir del problema?
2. ¿Por qué es necesario aplicar la fórmula cuadrática?
3. ¿Cómo se puede simplificar el proceso de resolución de ecuaciones cuadráticas?
4. ¿En qué otros problemas similares se podría usar este tipo de razonamiento?
5. ¿Cómo verificar que el resultado obtenido es correcto?

**Tip:** Siempre que tengas una ecuación cuadrática, verifica si es posible factorizar antes de usar la fórmula general.

Descubre cómo resolver el problema donde Juana compró copas por 120,000 Gs, y cómo determinar la cantidad de copas y su precio unitario utilizando ecuaciones cuadráticas. Adecuado para estudiantes de los grados 9-11.

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