Actividad 2. Ji cuadrada.
La siguiente tabla contiene la información obtenida mediante una encuesta sobre el uso del cinturón de seguridad.

	Uso del cinturón de seguridad	Totales
Género	Si	No	
Femenino	30	18	48
Masculino	25	27	52
Totales	55	45	100

Realiza el análisis de regresión lineal para determinar si el uso del cinturón de seguridad ésta relacionado con el género (a=0.01 ).
Hipótesis nula: el cinturón es independiente del género.

La prueba Chi-cuadrada (Ji cuadrada) es apropiada para determinar si hay una relación significativa entre dos variables categóricas, como en este caso el género y el uso del cinturón de seguridad. A continuación, se detallan los pasos para realizar el análisis y la interpretación:

### 1. **Hipótesis:**

- **Hipótesis nula (\( H_0 \)):** El uso del cinturón de seguridad es independiente del género.
- **Hipótesis alternativa (\( H_1 \)):** El uso del cinturón de seguridad depende del género.

### 2. **Nivel de significancia:**
- \( \alpha = 0.01 \)

### 3. **Datos observados:**

|                 | Uso del cinturón (Sí) | Uso del cinturón (No) | Totales |
|-----------------|-----------------------|-----------------------|---------|
| **Femenino**    | 30                    | 18                    | 48      |
| **Masculino**   | 25                    | 27                    | 52      |
| **Totales**     | 55                    | 45                    | 100     |

### 4. **Cálculo de frecuencias esperadas:**
Las frecuencias esperadas bajo la hipótesis nula se calculan utilizando la fórmula:
\[
E_{ij} = \frac{(Fila_i \times Columna_j)}{N}
\]
Donde:
- \( Fila_i \) es el total de la fila \( i \),
- \( Columna_j \) es el total de la columna \( j \),
- \( N \) es el total general (100).

Para cada celda:

- Para mujeres que usan cinturón (\( E_{11} \)):
\[
E_{11} = \frac{48 \times 55}{100} = 26.4
\]
- Para mujeres que no usan cinturón (\( E_{12} \)):
\[
E_{12} = \frac{48 \times 45}{100} = 21.6
\]
- Para hombres que usan cinturón (\( E_{21} \)):
\[
E_{21} = \frac{52 \times 55}{100} = 28.6
\]
- Para hombres que no usan cinturón (\( E_{22} \)):
\[
E_{22} = \frac{52 \times 45}{100} = 23.4
\]

|                 | Uso del cinturón (Sí) | Uso del cinturón (No) |
|-----------------|-----------------------|-----------------------|
| **Femenino**    | 26.4                  | 21.6                  |
| **Masculino**   | 28.6                  | 23.4                  |

### 5. **Cálculo de la estadística de prueba \( \chi^2 \):**
La fórmula para la estadística \( \chi^2 \) es:
\[
\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}
\]
Donde:
- \( O_{ij} \) es el valor observado,
- \( E_{ij} \) es el valor esperado.

Realizamos los cálculos:

\[
\chi^2 = \frac{(30 - 26.4)^2}{26.4} + \frac{(18 - 21.6)^2}{21.6} + \frac{(25 - 28.6)^2}{28.6} + \frac{(27 - 23.4)^2}{23.4}
\]
\[
\chi^2 = \frac{(3.6)^2}{26.4} + \frac{(-3.6)^2}{21.6} + \frac{(-3.6)^2}{28.6} + \frac{(3.6)^2}{23.4}
\]
\[
\chi^2 = \frac{12.96}{26.4} + \frac{12.96}{21.6} + \frac{12.96}{28.6} + \frac{12.96}{23.4}
\]
\[
\chi^2 \approx 0.491 + 0.6 + 0.453 + 0.554 = 2.098
\]

### 6. **Grados de libertad:**
Los grados de libertad (\( df \)) se calculan como:
\[
df = (n_{\text{filas}} - 1)(n_{\text{columnas}} - 1) = (2 - 1)(2 - 1) = 1
\]

### 7. **Valor crítico de \( \chi^2 \):**
Usando una tabla de distribución \( \chi^2 \), con \( df = 1 \) y \( \alpha = 0.01 \), el valor crítico es aproximadamente \( 6.635 \).

### 8. **Decisión:**
La estadística de prueba calculada \( \chi^2 = 2.098 \) es menor que el valor crítico \( 6.635 \).

### 9. **Conclusión:**
Dado que \( \chi^2_{\text{calculado}} < \chi^2_{\text{crítico}} \), no rechazamos la hipótesis nula. Esto significa que **no hay suficiente evidencia para concluir que el uso del cinturón de seguridad depende del género** al nivel de significancia \( \alpha = 0.01 \).

---

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre los cálculos? Aquí hay algunas preguntas adicionales relacionadas:

1. ¿Cómo cambia el resultado si se usa un nivel de significancia de \( \alpha = 0.05 \)?
2. ¿Qué interpretación práctica tiene el valor de \( \chi^2 \) en una encuesta como esta?
3. ¿Qué pasaría si se recogieran más datos? ¿Aumentaría o disminuiría la probabilidad de rechazar la hipótesis nula?
4. ¿Cómo afectaría el análisis si la proporción de hombres y mujeres fuera diferente?
5. ¿Cómo se calcularía el intervalo de confianza para esta prueba?

**Tip:** En pruebas de independencia, el tamaño de la muestra es crucial; con muestras pequeñas, los resultados pueden ser menos confiables.

Actividad 2. Ji cuadrada. La siguiente tabla contiene la información obtenida mediante una encuesta sobre el uso del cinturón de seguridad.

Uso del cinturón de seguridad Totales
Género Si No 
Femenino 30 18 48
Masculino 25 27 52
Totales 55 45 100

Realiza el análisis de regresión lineal para determinar si el uso del cinturón de seguridad está relacionado con el género (a=0.01). Hipótesis nula: el cinturón es independiente del género.

Analyze whether the use of seatbelts is related to gender using a Chi-Square test. This problem involves hypothesis testing with categorical data and calculates expected frequencies, Chi-Square statistics, and degrees of freedom. Suitable for students in Grades 10-12.

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