Se va a manufacturar una lata que almacenara 2.500 ml de líquido. Se quiere saber por el área de ingeniería:
¿Cuánto material se necesita para la construcción de la lata? Si la empresa solicita minimizar costos en la
fabricación.

Para minimizar los costos en la fabricación de una lata cilíndrica con un volumen dado de 2500 ml, necesitamos encontrar las dimensiones (radio y altura) que minimicen el área de la superficie total de la lata. Esta superficie será el material requerido para construirla.

### Paso 1: Expresiones del volumen y área de la lata
Considerando que la lata tiene forma cilíndrica:

- **Volumen del cilindro:**  
  El volumen de un cilindro está dado por la fórmula:
  \[
  V = \pi r^2 h
  \]
  donde \( r \) es el radio de la base y \( h \) es la altura del cilindro.

- **Área superficial del cilindro:**  
  El área superficial total del cilindro (que es la suma del área lateral y las dos bases) está dada por:
  \[
  A = 2\pi r h + 2\pi r^2
  \]
  donde el primer término es el área lateral y el segundo término es el área de las dos bases.

### Paso 2: Restricción del volumen
Sabemos que el volumen de la lata debe ser de 2500 ml o \( 2500 \, \text{cm}^3 \). Así que, utilizando la ecuación del volumen:
\[
V = \pi r^2 h = 2500
\]
Podemos despejar la altura \( h \):
\[
h = \frac{2500}{\pi r^2}
\]

### Paso 3: Minimización del área
Sustituimos \( h \) en la ecuación del área para obtener una función del área que dependa solo del radio \( r \):
\[
A(r) = 2\pi r \left( \frac{2500}{\pi r^2} \right) + 2\pi r^2
\]
Simplificamos la expresión:
\[
A(r) = \frac{5000}{r} + 2\pi r^2
\]
Ahora, para minimizar el área, derivamos esta función con respecto a \( r \) y luego igualamos a cero:
\[
\frac{dA}{dr} = -\frac{5000}{r^2} + 4\pi r = 0
\]
Resolviendo esta ecuación para \( r \), obtenemos el radio óptimo. Luego, sustituimos el valor de \( r \) en la ecuación del volumen para obtener la altura \( h \).

Voy a proceder con los cálculos para determinar el valor óptimo de \( r \) y \( h \).El radio óptimo de la lata para minimizar el uso de material es aproximadamente \( 7.36 \, \text{cm} \) y la altura óptima es de aproximadamente \( 14.71 \, \text{cm} \). 

Con estas dimensiones, el área de superficie total necesaria para fabricar la lata es aproximadamente \( 1019.71 \, \text{cm}^2 \).

### Resumen:
- **Radio óptimo:** \( 7.36 \, \text{cm} \)
- **Altura óptima:** \( 14.71 \, \text{cm} \)
- **Área de material necesario:** \( 1019.71 \, \text{cm}^2 \)

¿Te gustaría detalles adicionales sobre el cálculo o cómo aplicar este proceso en otras situaciones?

Aquí hay 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo influye el cambio de volumen en el área mínima?
2. ¿Cómo cambiarían los cálculos si la lata tuviera forma cónica en lugar de cilíndrica?
3. ¿Qué consideraciones adicionales se deben tener en cuenta para minimizar costos en la fabricación?
4. ¿Es posible que otras formas geométricas reduzcan aún más el área?
5. ¿Qué impacto tiene la variación en el grosor del material sobre los cálculos?

**Tip:** Al minimizar costos, es útil considerar también otros factores como el tipo de material y los procesos de fabricación, además de la cantidad utilizada.

Se va a manufacturar una lata que almacenará 2.500 ml de líquido. Se quiere saber por el área de ingeniería: ¿Cuánto material se necesita para la construcción de la lata? Si la empresa solicita minimizar costos en la fabricación.

Aprende cómo calcular las dimensiones óptimas de una lata cilíndrica para minimizar el área de superficie total, reduciendo costos de fabricación. Este problema implica conceptos de geometría y optimización, usando fórmulas de volumen y área superficial. El radio óptimo es 7.36 cm y la altura 14.71 cm, con un área total de 1019.71 cm². Ideal para estudiantes de 10° a 12° grado.

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