1. Halle la ecuación de la recta que:
(a) Pasa por el (−2, 1) y es paralela a la recta 3x − 2y + 4 = 0.
(b) Es perpendicular a la recta 3x − 5y − 2 = 0 y pasa por el punto (−2, 1).

Para resolver el problema, procedamos con cada parte por separado.

### Parte (a): Recta paralela a \(3x - 2y + 4 = 0\) que pasa por \((-2, 1)\)

1. **Encuentra la pendiente de la recta dada**: La ecuación dada es \(3x - 2y + 4 = 0\). Primero, la escribimos en la forma pendiente-intersección, \(y = mx + b\), donde \(m\) es la pendiente.
   
   \[
   3x - 2y + 4 = 0
   \]
   \[
   -2y = -3x - 4
   \]
   \[
   y = \frac{3}{2}x + 2
   \]
   
   Por lo tanto, la pendiente \(m\) de la recta es \(\frac{3}{2}\).

2. **Encuentra la ecuación de la recta paralela**: Una recta paralela tiene la misma pendiente, entonces la pendiente de la nueva recta también es \(m = \frac{3}{2}\). Usamos la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta:
   
   \[
   y - y_1 = m(x - x_1)
   \]
   
   Sustituyendo el punto \((-2, 1)\) y la pendiente \(m = \frac{3}{2}\):
   
   \[
   y - 1 = \frac{3}{2}(x + 2)
   \]
   
   Simplificamos para encontrar la ecuación:
   
   \[
   y - 1 = \frac{3}{2}x + 3
   \]
   \[
   y = \frac{3}{2}x + 4
   \]
   
   Así que la ecuación de la recta paralela es:
   
   \[
   \boxed{y = \frac{3}{2}x + 4}
   \]

### Parte (b): Recta perpendicular a \(3x - 5y - 2 = 0\) que pasa por \((-2, 1)\)

1. **Encuentra la pendiente de la recta dada**: La ecuación dada es \(3x - 5y - 2 = 0\). Primero, la escribimos en la forma pendiente-intersección:
   
   \[
   3x - 5y - 2 = 0
   \]
   \[
   -5y = -3x + 2
   \]
   \[
   y = \frac{3}{5}x + \frac{2}{5}
   \]
   
   La pendiente \(m\) de la recta es \(\frac{3}{5}\).

2. **Encuentra la pendiente de la recta perpendicular**: La pendiente de una recta perpendicular es el negativo del recíproco de la pendiente original. Entonces, la pendiente de la recta perpendicular será:
   
   \[
   m_{\perp} = -\frac{1}{m} = -\frac{5}{3}
   \]

3. **Encuentra la ecuación de la recta perpendicular**: Usamos la forma punto-pendiente:
   
   \[
   y - y_1 = m_{\perp}(x - x_1)
   \]
   
   Sustituyendo el punto \((-2, 1)\) y la pendiente \(m_{\perp} = -\frac{5}{3}\):
   
   \[
   y - 1 = -\frac{5}{3}(x + 2)
   \]
   
   Simplificamos para encontrar la ecuación:
   
   \[
   y - 1 = -\frac{5}{3}x - \frac{10}{3}
   \]
   \[
   y = -\frac{5}{3}x - \frac{7}{3}
   \]

   Así que la ecuación de la recta perpendicular es:

   \[
   \boxed{y = -\frac{5}{3}x - \frac{7}{3}}
   \]

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta? Aquí hay 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determina la pendiente de una recta dada en forma general \(Ax + By + C = 0\)?
2. ¿Qué significa que dos rectas sean paralelas en términos de sus pendientes?
3. ¿Cómo se deriva la fórmula para la pendiente de una recta perpendicular?
4. ¿Qué sucede con las pendientes de dos rectas si son perpendiculares?
5. ¿Cómo se puede verificar si dos rectas son perpendiculares mediante sus ecuaciones?

**Tip:** Siempre revisa tu ecuación final sustituyendo los valores del punto dado para confirmar que pertenece a la recta.

Aprende cómo encontrar la ecuación de una recta paralela y perpendicular a otras rectas dados puntos específicos. Este problema cubre conceptos clave de geometría analítica, incluyendo la determinación de pendientes y ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares. Adecuado para estudiantes de secundaria.

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