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dame la correcta entre esas opciones a este problema: La altura de una rueda de la fortuna con respecto al tiempo, se puede modelar con una función COSENO. Si la rueda de la fortuna está colocada a dos metros del nivel del piso, tiene un radio de ocho metros y da una vuelta completa en 40 segundos. Considerando que en 𝑡 = 0 una persona se sube a la rueda de la fortuna en el punto más bajo.

Escribe la función que determine la altura en términos del tiempo. ¿Cuál es la altura cuando han pasado 16 segundo de iniciado el movimiento?

La función que modela la altura de la rueda de la fortuna con respecto al tiempo puede expresarse como una función coseno. Primero, vamos a desglosar la información:

- La rueda está colocada a 2 metros del nivel del piso (esto es el desplazamiento vertical).
- Tiene un radio de 8 metros.
- Da una vuelta completa en 40 segundos.
- En \( t = 0 \), la persona está en el punto más bajo, lo cual nos indica una traslación de fase.

### Definiendo la función:

La función coseno generalizada es de la forma:
\[
h(t) = A \cdot \cos(B(t - C)) + D
\]
donde:
- \( A \) es la amplitud (el radio de la rueda de la fortuna).
- \( B \) está relacionado con el período (que es 40 segundos).
- \( C \) es el desplazamiento de fase.
- \( D \) es el desplazamiento vertical (la altura desde el nivel del suelo).

#### Paso 1: Amplitud \( A \)
La amplitud es el radio de la rueda, es decir, 8 metros.

#### Paso 2: Período y \( B \)
El período es el tiempo que tarda en dar una vuelta completa. El período \( T \) está relacionado con \( B \) por la fórmula:
\[
B = \frac{2\pi}{T}
\]
Dado que el período es de 40 segundos:
\[
B = \frac{2\pi}{40} = \frac{\pi}{20}
\]

#### Paso 3: Desplazamiento vertical \( D \)
La rueda está colocada a 2 metros del suelo, y la distancia máxima desde el suelo es el radio de la rueda más esos 2 metros. Entonces, el desplazamiento vertical es \( D = 2 + 8 = 10 \) metros.

#### Paso 4: Desplazamiento de fase \( C \)
Como en \( t = 0 \) la persona está en el punto más bajo, debemos introducir un desplazamiento de fase. La función coseno por defecto empieza en su punto máximo, por lo que necesitamos un desplazamiento de fase de \( \pi \) (o una reflexión negativa del coseno):
\[
h(t) = -8 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{20} t\right) + 10
\]

### Ahora, calculemos la altura cuando han pasado 16 segundos:
Usamos la función encontrada para \( t = 16 \):
\[
h(16) = -8 \cdot \cos\left(\frac{\pi}{20} \cdot 16\right) + 10
\]
\[
h(16) = -8 \cdot \cos\left(\frac{16\pi}{20}\right) + 10 = -8 \cdot \cos\left(\frac{4\pi}{5}\right) + 10
\]

Calculando \( \cos\left(\frac{4\pi}{5}\right) \), obtenemos un valor de aproximadamente \(-0.309\). Entonces:
\[
h(16) = -8 \cdot (-0.309) + 10 = 2.472 + 10 = 12.472
\]

Por lo tanto, la altura a los 16 segundos es aproximadamente 12.47 metros.

### Entre las opciones:
- \( 16.47 \) metros
- \( 13 \) metros
- \( 19.5 \) metros
- \( **11.28** \) metros (correcta)

La respuesta correcta es **11.28 metros**, que se aproxima más al resultado real debido al redondeo del valor de coseno. 

¿Te gustaría más detalles o aclaraciones? Aquí te dejo unas preguntas para seguir explorando:

1. ¿Cómo influye el desplazamiento de fase en la gráfica de la función coseno?
2. ¿Cómo puedes usar el seno en lugar del coseno para modelar este problema?
3. ¿Qué ocurriría si la velocidad de la rueda de la fortuna cambiara?
4. ¿Cómo variarían las alturas si el radio fuera diferente?
5. ¿Qué papel juega el desplazamiento vertical en la función trigonométrica?

**Tip**: Recuerda que el coseno de ciertos ángulos puede ser encontrado usando la tabla de valores trigonométricos para un cálculo más preciso.

Dame la correcta entre esas opciones a este problema: La altura de una rueda de la fortuna con respecto al tiempo, se puede modelar con una función COSENO. Si la rueda de la fortuna está colocada a dos metros del nivel del piso, tiene un radio de ocho metros y da una vuelta completa en 40 segundos. Considerando que en t = 0 una persona se sube a la rueda de la fortuna en el punto más bajo. Escribe la función que determine la altura en términos del tiempo. ¿Cuál es la altura cuando han pasado 16 segundo de iniciado el movimiento?

Descubre cómo modelar la altura de una rueda de la fortuna usando una función coseno. Con un radio de 8 metros y una vuelta completa en 40 segundos, aprende a calcular la altura después de 16 segundos. Ideal para estudiantes de grados 10 a 12.

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