Se va a manufacturar una lata que almacenara 2.500 ml de líquido. Se quiere saber por el área de ingeniería:
¿Cuánto material se necesita para la construcción de la lata? Si la empresa solicita minimizar costos en la
fabricación.

Para resolver este problema, debemos encontrar las dimensiones de una lata cilíndrica (radio y altura) que minimicen el área de superficie del cilindro, ya que esto determinará la cantidad de material necesario para su construcción. Además, se nos proporciona el volumen de la lata, que es de 2,500 ml (o 2.5 litros).

### Paso 1: Fórmulas Relevantes

1. **Volumen de un cilindro**:  
   \[
   V = \pi r^2 h
   \]
   donde:
   - \(V\) es el volumen.
   - \(r\) es el radio de la base del cilindro.
   - \(h\) es la altura del cilindro.

   Sabemos que \(V = 2,500 \, \text{cm}^3\).

2. **Área de superficie de un cilindro** (incluyendo la tapa y la base):  
   \[
   A = 2\pi r^2 + 2\pi r h
   \]
   donde:
   - El primer término \(2\pi r^2\) es el área de las dos bases.
   - El segundo término \(2\pi r h\) es el área de la superficie lateral.

### Paso 2: Minimizar el Área de Superficie

Para minimizar el área de superficie con un volumen constante, primero despejamos \(h\) en términos de \(r\) usando la fórmula del volumen:

\[
h = \frac{V}{\pi r^2}
\]

Sustituimos esto en la ecuación del área de superficie:

\[
A(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{V}{\pi r^2}\right) = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}
\]

### Paso 3: Derivada y Optimización

Para encontrar el valor de \(r\) que minimiza el área, tomamos la derivada de \(A(r)\) respecto a \(r\) y la igualamos a cero:

\[
A'(r) = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0
\]

Resolviendo para \(r\):

\[
4\pi r = \frac{2V}{r^2}
\]

\[
4\pi r^3 = 2V
\]

\[
r^3 = \frac{V}{2\pi}
\]

\[
r = \left(\frac{2500}{2\pi}\right)^{1/3}
\]

Calculamos el valor de \(r\) y luego determinamos \(h\) usando la ecuación del volumen.El radio \( r \) que minimiza el área de superficie es aproximadamente **7.36 cm**, y la altura \( h \) correspondiente es aproximadamente **14.71 cm**.

### Paso 4: Cálculo del Área de Superficie

Ahora podemos calcular el área de superficie utilizando estos valores de \( r \) y \( h \):

\[
A = 2\pi r^2 + 2\pi r h
\]

Calculamos el área total para obtener la cantidad de material necesario para la construcción de la lata.El área de superficie necesaria para la construcción de la lata es aproximadamente **1019.71 cm²**. Este es el material mínimo requerido para fabricar la lata con un volumen de 2,500 ml, minimizando los costos.

### Resumen:
- **Radio óptimo (r):** 7.36 cm
- **Altura óptima (h):** 14.71 cm
- **Área de superficie mínima (A):** 1019.71 cm²

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo cambiarían las dimensiones si el volumen requerido fuera diferente?
2. ¿Cómo afecta un cambio en el material (por ejemplo, grosor del metal) al costo de fabricación?
3. ¿Cuál es el impacto de agregar un borde reforzado en el área total?
4. ¿Cómo se calcularía el costo total si se incluye el precio del material por cm²?
5. ¿Qué implicaciones tiene la minimización de costos para la durabilidad y resistencia de la lata?

**Tip:** Para minimizar los costos de fabricación, considera también optimizar el proceso de producción, no solo los materiales.

Se va a manufacturar una lata que almacenara 2.500 ml de líquido. Se quiere saber por el área de ingeniería: ¿Cuánto material se necesita para la construcción de la lata? Si la empresa solicita minimizar costos en la fabricación.

Find out how to calculate the minimum material required to manufacture a cylindrical can that holds 2,500 ml of liquid, minimizing costs. This problem involves geometric formulas for volume and surface area, and optimization techniques using derivatives. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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