halla la ecuacion de la recta que cumple las condiciones dadas :                                                                       a) pasa por el punto(-2,5) y es paralela a la recta que pasa por los puntos (1,k) y (k,1).                                                    b) pasa por el punto (-1,6)  y es perpendicular a la recta 5x+2y-5=0.

Vamos a resolver cada parte por separado.

### Parte (a): Recta que pasa por el punto \((-2, 5)\) y es paralela a la recta que pasa por los puntos \((1, k)\) y \((k, 1)\).

Primero, encontremos la pendiente de la recta que pasa por los puntos \((1, k)\) y \((k, 1)\). La fórmula para la pendiente \(m\) entre dos puntos \((x_1, y_1)\) y \((x_2, y_2)\) es:

\[
m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
\]

Aplicando los puntos \((1, k)\) y \((k, 1)\):

\[
m = \frac{1 - k}{k - 1} = \frac{k - 1}{k - 1} = -1
\]

Entonces, la pendiente de la recta es \(-1\).

Dado que la nueva recta es paralela, tendrá la misma pendiente. Usamos la fórmula de la ecuación de la recta en su forma punto-pendiente:

\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]

Sustituyendo el punto \((-2, 5)\) y la pendiente \(m = -1\):

\[
y - 5 = -1(x + 2)
\]

Simplificando:

\[
y - 5 = -x - 2
\]

\[
y = -x + 3
\]

Entonces, la ecuación de la recta es:

\[
\boxed{y = -x + 3}
\]

### Parte (b): Recta que pasa por el punto \((-1, 6)\) y es perpendicular a la recta \(5x + 2y - 5 = 0\).

Primero, encontramos la pendiente de la recta \(5x + 2y - 5 = 0\). Reescribimos en la forma pendiente-intersección (\(y = mx + b\)):

\[
2y = -5x + 5
\]

\[
y = -\frac{5}{2}x + \frac{5}{2}
\]

La pendiente \(m_1\) de esta recta es \(-\frac{5}{2}\).

Para la recta perpendicular, la pendiente \(m_2\) es el negativo recíproco de \(-\frac{5}{2}\):

\[
m_2 = \frac{2}{5}
\]

Usamos la fórmula de la recta en su forma punto-pendiente con el punto \((-1, 6)\) y la pendiente \(m_2 = \frac{2}{5}\):

\[
y - 6 = \frac{2}{5}(x + 1)
\]

Simplificando:

\[
y - 6 = \frac{2}{5}x + \frac{2}{5}
\]

\[
y = \frac{2}{5}x + \frac{2}{5} + 6
\]

\[
y = \frac{2}{5}x + \frac{32}{5}
\]

Entonces, la ecuación de la recta es:

\[
\boxed{y = \frac{2}{5}x + \frac{32}{5}}
\]

¿Te gustaría más detalles sobre alguno de los pasos o tienes alguna pregunta?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se encuentra la pendiente de una recta perpendicular a otra?
2. ¿Qué significa que dos rectas sean paralelas?
3. ¿Cómo se puede convertir una ecuación de la forma general a la forma pendiente-intersección?
4. ¿Qué sucede con la pendiente cuando una recta es perpendicular a otra?
5. ¿Cómo afecta el signo de la pendiente a la dirección de la recta?

**Tip:** Para identificar si dos rectas son perpendiculares, recuerda que el producto de sus pendientes debe ser \(-1\).

Aprende cómo encontrar la ecuación de una recta que pasa por un punto dado y es paralela o perpendicular a otra recta específica. Incluye ejemplos detallados de rectas paralelas y perpendiculares en el plano cartesiano. Nivel adecuado para estudiantes de secundaria.

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