Encuentre la distancia entre la recta paralela a -3x+4y=-5 y que pasa por el punto 
(-1, -1), y el punto de intersección de las rectas -7x+2y=4 y 2x-8y =-1.

Para resolver este problema, debemos encontrar la distancia entre la recta paralela a \( -3x + 4y = -5 \), que pasa por el punto \( (-1, -1) \), y el punto de intersección de las rectas \( -7x + 2y = 4 \) y \( 2x - 8y = -1 \).

### Paso 1: Ecuación de la recta paralela
Sabemos que la ecuación general de una recta es \( Ax + By + C = 0 \). La ecuación de la recta dada es \( -3x + 4y = -5 \), y las rectas paralelas tienen el mismo coeficiente en \( x \) y \( y \), por lo que la ecuación de la recta paralela será de la forma:

\[
-3x + 4y + D = 0
\]

Para encontrar \( D \), utilizamos el hecho de que esta recta pasa por el punto \( (-1, -1) \). Sustituimos estos valores en la ecuación:

\[
-3(-1) + 4(-1) + D = 0
\]

Resolviendo para \( D \):

\[
3 - 4 + D = 0
\]
\[
D = 1
\]

Por lo tanto, la ecuación de la recta paralela es:

\[
-3x + 4y + 1 = 0
\]

### Paso 2: Punto de intersección de las dos rectas
Ahora encontramos el punto de intersección de las rectas \( -7x + 2y = 4 \) y \( 2x - 8y = -1 \). Vamos a resolver el sistema de ecuaciones.

Multiplicamos la primera ecuación por 4 para que los coeficientes de \( y \) sean iguales:

\[
-28x + 8y = 16
\]
\[
2x - 8y = -1
\]

Sumamos ambas ecuaciones:

\[
(-28x + 8y) + (2x - 8y) = 16 + (-1)
\]
\[
-26x = 15
\]

Resolviendo para \( x \):

\[
x = \frac{15}{-26}
\]
\[
x = -\frac{15}{26}
\]

Sustituimos este valor en la ecuación \( 2x - 8y = -1 \):

\[
2\left(-\frac{15}{26}\right) - 8y = -1
\]
\[
-\frac{30}{26} - 8y = -1
\]
\[
-\frac{30}{26} + 1 = 8y
\]
\[
\frac{-30 + 26}{26} = 8y
\]
\[
\frac{-4}{26} = 8y
\]
\[
y = \frac{-1}{52}
\]

El punto de intersección es \( \left( -\frac{15}{26}, \frac{-1}{52} \right) \).

### Paso 3: Distancia entre el punto y la recta
La fórmula para la distancia entre un punto \( (x_1, y_1) \) y una recta \( Ax + By + C = 0 \) es:

\[
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]

Donde \( A = -3 \), \( B = 4 \) y \( C = 1 \) para la recta \( -3x + 4y + 1 = 0 \). El punto es \( \left( -\frac{15}{26}, \frac{-1}{52} \right) \).

Sustituimos estos valores en la fórmula:

\[
d = \frac{|(-3)\left(-\frac{15}{26}\right) + 4\left(\frac{-1}{52}\right) + 1|}{\sqrt{(-3)^2 + 4^2}}
\]
\[
d = \frac{| \frac{45}{26} - \frac{4}{52} + 1 |}{\sqrt{9 + 16}}
\]
\[
d = \frac{| \frac{45}{26} - \frac{2}{26} + \frac{26}{26} |}{\sqrt{25}}
\]
\[
d = \frac{| \frac{45 - 2 + 26}{26} |}{5}
\]
\[
d = \frac{| \frac{69}{26} |}{5}
\]
\[
d = \frac{69}{130}
\]

La distancia es \( \frac{69}{130} \), o aproximadamente \( 0.53 \) unidades.

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Encuentre la distancia entre la recta paralela a -3x + 4y = -5 y que pasa por el punto (-1, -1), y el punto de intersección de las rectas -7x + 2y = 4 y 2x - 8y = -1.

Learn how to find the distance between a line parallel to -3x + 4y = -5 that passes through the point (-1, -1) and the intersection point of the lines -7x + 2y = 4 and 2x - 8y = -1. This solution involves key geometric and algebraic concepts, including solving a system of linear equations and using the distance formula between a point and a line. Suitable for students in Grades 10-12.

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