Encuentre la distancia entre la recta paralela a -3x+4y=-5 y que pasa por el punto 
(-1, -1), y el punto de intersección de las rectas -7x+2y=4 y 2x-8y =-1.

Para resolver este problema, vamos a seguir estos pasos:

### 1. Encontrar la ecuación de la recta paralela a \(-3x + 4y = -5\) que pasa por el punto \((-1, -1)\).
### 2. Encontrar el punto de intersección de las rectas \(-7x + 2y = 4\) y \(2x - 8y = -1\).
### 3. Calcular la distancia entre el punto de intersección encontrado en el paso 2 y la recta del paso 1.

### Paso 1: Ecuación de la recta paralela que pasa por el punto \((-1, -1)\)
Sabemos que las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Reescribimos la ecuación de la recta dada en forma pendiente-intersección (y = mx + b):

\[
-3x + 4y = -5 \implies 4y = 3x - 5 \implies y = \frac{3}{4}x - \frac{5}{4}
\]

La pendiente de esta recta es \(\frac{3}{4}\). La ecuación de la recta paralela que pasa por el punto \((-1, -1)\) tendrá la misma pendiente:

\[
y + 1 = \frac{3}{4}(x + 1)
\]

Despejamos \(y\):

\[
y + 1 = \frac{3}{4}x + \frac{3}{4} \implies y = \frac{3}{4}x + \frac{3}{4} - 1 \implies y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}
\]

La ecuación de la recta paralela es:

\[
y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}
\]

### Paso 2: Encontrar el punto de intersección de las rectas \(-7x + 2y = 4\) y \(2x - 8y = -1\)
Resolvemos este sistema de ecuaciones:

1. \(-7x + 2y = 4\)
2. \(2x - 8y = -1\)

Multiplicamos la segunda ecuación por 4 para igualar los coeficientes de \(y\):

\[
8x - 32y = -4
\]

Ahora sumamos ambas ecuaciones:

\[
(-7x + 2y) + (8x - 32y) = 4 + (-4)
\]
\[
x - 30y = 0 \implies x = 30y
\]

Sustituimos \(x = 30y\) en la primera ecuación:

\[
-7(30y) + 2y = 4 \implies -210y + 2y = 4 \implies -208y = 4 \implies y = -\frac{1}{52}
\]

Ahora sustituimos \(y = -\frac{1}{52}\) en \(x = 30y\):

\[
x = 30\left(-\frac{1}{52}\right) = -\frac{30}{52} = -\frac{15}{26}
\]

El punto de intersección es \(\left(-\frac{15}{26}, -\frac{1}{52}\right)\).

### Paso 3: Calcular la distancia entre el punto y la recta

La fórmula para la distancia entre un punto \((x_1, y_1)\) y una recta \(Ax + By + C = 0\) es:

\[
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]

La ecuación de la recta paralela es \(y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}\), que podemos escribir como:

\[
3x - 4y - 1 = 0
\]

Entonces, \(A = 3\), \(B = -4\), y \(C = -1\). Usamos el punto \(\left(-\frac{15}{26}, -\frac{1}{52}\right)\) para calcular la distancia:

\[
d = \frac{|3\left(-\frac{15}{26}\right) - 4\left(-\frac{1}{52}\right) - 1|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}
\]

Ahora, calculo esto.La distancia entre la recta paralela \(y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}\) y el punto de intersección de las rectas \(-7x + 2y = 4\) y \(2x - 8y = -1\) es aproximadamente \(0.531\) unidades.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna otra pregunta sobre este problema?

Aquí tienes 5 preguntas relacionadas para practicar:

1. ¿Cómo se obtiene la ecuación de una recta perpendicular a otra dada una pendiente?
2. ¿Cómo encontrar la distancia entre dos puntos en el plano cartesiano?
3. ¿Qué método alternativo podrías usar para resolver un sistema de ecuaciones?
4. ¿Cómo se determina si dos rectas son paralelas o perpendiculares solo con sus ecuaciones?
5. ¿Cómo cambia la fórmula de la distancia entre un punto y una recta en 3D?

**Tip:** Recuerda que dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales, y son perpendiculares si el producto de sus pendientes es \(-1\).

Encuentre la distancia entre la recta paralela a -3x+4y=-5 y que pasa por el punto (-1, -1), y el punto de intersección de las rectas -7x+2y=4 y 2x-8y =-1.

Learn how to find the distance between a line parallel to -3x + 4y = -5 passing through (-1, -1) and the intersection point of the lines -7x + 2y = 4 and 2x - 8y = -1. This step-by-step solution includes key algebraic concepts such as parallel lines, systems of equations, and distance formula. Suitable for students in Grades 10-12.

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