Encuentre la distancia entre la recta paralela a -3x+4y=-5 y que pasa por el punto 
(-1, -1), y el punto de intersección de las rectas -7x+2y=4 y 2x-8y =-1.

### Paso 1: Ecuación de la recta paralela

Dada la ecuación de la recta \(-3x + 4y = -5\), podemos observar que la pendiente de esta recta es \(\frac{3}{4}\). Las rectas paralelas tienen la misma pendiente, por lo que buscamos una recta con la misma pendiente que pase por el punto \((-1, -1)\).

La forma pendiente-intersección de la ecuación de una recta es:
\[
y = mx + b
\]
Donde \(m\) es la pendiente. Usamos la pendiente \(\frac{3}{4}\) y el punto \((-1, -1)\) para encontrar \(b\), el intercepto en \(y\).

Sustituimos el punto en la ecuación:
\[
-1 = \frac{3}{4}(-1) + b
\]
\[
-1 = -\frac{3}{4} + b
\]
\[
b = -1 + \frac{3}{4} = -\frac{1}{4}
\]

Entonces, la ecuación de la recta paralela es:
\[
y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}
\]
Multiplicamos por 4 para obtenerla en forma general:
\[
4y = 3x - 1
\]
\[
3x - 4y = 1
\]

### Paso 2: Intersección de las rectas

Ahora resolvemos el sistema de las dos rectas:

1. \(-7x + 2y = 4\)
2. \(2x - 8y = -1\)

Multiplicamos la primera ecuación por 4 para igualar los coeficientes de \(y\):
\[
-28x + 8y = 16
\]
Sumamos esta ecuación a la segunda:
\[
(-28x + 8y) + (2x - 8y) = 16 + (-1)
\]
\[
-26x = 15
\]
\[
x = -\frac{15}{26}
\]

Sustituimos \(x = -\frac{15}{26}\) en la primera ecuación \(-7x + 2y = 4\):
\[
-7\left(-\frac{15}{26}\right) + 2y = 4
\]
\[
\frac{105}{26} + 2y = 4
\]
Multiplicamos todo por 26 para eliminar el denominador:
\[
105 + 52y = 104
\]
\[
52y = -1
\]
\[
y = -\frac{1}{52}
\]

El punto de intersección es \(\left(-\frac{15}{26}, -\frac{1}{52}\right)\).

### Paso 3: Distancia entre la recta y el punto de intersección

La fórmula de la distancia de un punto \((x_1, y_1)\) a una recta \(Ax + By + C = 0\) es:
\[
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]
La ecuación de la recta paralela es \(3x - 4y - 1 = 0\), y el punto es \(\left(-\frac{15}{26}, -\frac{1}{52}\right)\).

Sustituimos en la fórmula:
\[
d = \frac{|3\left(-\frac{15}{26}\right) - 4\left(-\frac{1}{52}\right) - 1|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}
\]
Calculamos el numerador:
\[
3\left(-\frac{15}{26}\right) = -\frac{45}{26}, \quad -4\left(-\frac{1}{52}\right) = \frac{4}{52} = \frac{2}{26}
\]
\[
- \frac{45}{26} + \frac{2}{26} - 1 = -\frac{43}{26} - \frac{26}{26} = -\frac{69}{26}
\]
El valor absoluto del numerador es \(\frac{69}{26}\).

Ahora el denominador:
\[
\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]

Finalmente, la distancia es:
\[
d = \frac{\frac{69}{26}}{5} = \frac{69}{130}
\]

### Respuesta Final:
La distancia entre la recta y el punto de intersección es \(\frac{69}{130}\).

¿Te gustaría que ampliara más algún paso o tienes alguna duda?

#### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calcula la pendiente de una recta a partir de su ecuación?
2. ¿Cómo se resuelve un sistema de ecuaciones lineales?
3. ¿Cómo se encuentra la ecuación de una recta paralela a otra?
4. ¿Qué otros métodos existen para calcular distancias entre puntos y rectas?
5. ¿Cuáles son las aplicaciones geométricas de las distancias entre puntos y líneas?

**Tip**: La fórmula para la distancia de un punto a una recta se usa frecuentemente en geometría analítica, especialmente cuando se desea minimizar distancias en problemas de optimización.

Encuentre la distancia entre la recta paralela a -3x+4y=-5 y que pasa por el punto (-1, -1), y el punto de intersección de las rectas -7x+2y=4 y 2x-8y =-1.

Learn how to find the distance between a line parallel to -3x + 4y = -5 passing through (-1, -1) and the intersection point of the lines -7x + 2y = 4 and 2x - 8y = -1. This problem explores concepts in linear algebra, including the distance formula and solving systems of linear equations. Suitable for Grades 10-12.

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