Encuentre la distancia entre la recta paralela a -3x+4y=-5 y que pasa por el punto 
(-1, -1), y el punto de intersección de las rectas -7x+2y=4 y 2x-8y =-1

Primero, debemos resolver el problema paso a paso:

### Paso 1: Encontrar la distancia entre la recta y el punto
Para encontrar la distancia entre una recta y un punto, usamos la fórmula de la distancia entre un punto \((x_1, y_1)\) y la recta \(Ax + By + C = 0\):

\[
d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]

Dado que la recta paralela a la dada \(-3x + 4y = -5\) pasa por el punto \((-1, -1)\), primero encontraremos la ecuación de la recta que es paralela.

### Paso 2: Ecuación de la recta paralela
Sabemos que las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Reescribimos la ecuación de la recta original en la forma pendiente-intersección:

\[
-3x + 4y = -5 \quad \text{se convierte en} \quad 4y = 3x - 5 \quad \text{y finalmente} \quad y = \frac{3}{4}x - \frac{5}{4}
\]

La pendiente de la recta es \(\frac{3}{4}\), por lo que la ecuación de la recta paralela tendrá la misma pendiente. Sabemos que esta recta pasa por el punto \((-1, -1)\), por lo que usamos la fórmula punto-pendiente:

\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]

\[
y - (-1) = \frac{3}{4}(x - (-1)) \quad \text{se convierte en} \quad y + 1 = \frac{3}{4}(x + 1)
\]

Multiplicamos:

\[
y + 1 = \frac{3}{4}x + \frac{3}{4} \quad \text{y restamos 1 en ambos lados:} \quad y = \frac{3}{4}x - \frac{1}{4}
\]

Multiplicamos todo por 4 para obtener la ecuación en forma estándar:

\[
4y = 3x - 1 \quad \text{se convierte en} \quad 3x - 4y = 1
\]

Así que la ecuación de la recta paralela es \(3x - 4y = 1\).

### Paso 3: Encontrar el punto de intersección de las rectas
Ahora, debemos encontrar el punto de intersección de las rectas \(-7x + 2y = 4\) y \(2x - 8y = -1\).

Multiplicamos la primera ecuación por 4 para hacer los coeficientes de \(y\) iguales:

\[
4(-7x + 2y) = 4(4) \quad \Rightarrow \quad -28x + 8y = 16
\]
\[
2x - 8y = -1
\]

Sumamos ambas ecuaciones para eliminar el término con \(y\):

\[
(-28x + 8y) + (2x - 8y) = 16 + (-1)
\]
\[
-26x = 15 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{15}{26}
\]

Sustituimos \(x = -\frac{15}{26}\) en una de las ecuaciones originales. Usamos la primera ecuación:

\[
-7x + 2y = 4 \quad \Rightarrow \quad -7\left(-\frac{15}{26}\right) + 2y = 4
\]
\[
\frac{105}{26} + 2y = 4 \quad \Rightarrow \quad 2y = 4 - \frac{105}{26} = \frac{104}{26} - \frac{105}{26} = -\frac{1}{26}
\]
\[
y = -\frac{1}{52}
\]

El punto de intersección es \(\left(-\frac{15}{26}, -\frac{1}{52}\right)\).

### Paso 4: Calcular la distancia
Ahora usamos la fórmula de distancia entre la recta \(3x - 4y = 1\) y el punto \(\left(-\frac{15}{26}, -\frac{1}{52}\right)\).

La ecuación de la recta es \(Ax + By + C = 0\), donde \(A = 3\), \(B = -4\), y \(C = -1\). Sustituimos en la fórmula de la distancia:

\[
d = \frac{|3\left(-\frac{15}{26}\right) - 4\left(-\frac{1}{52}\right) + 1|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}
\]

Simplifiquemos esto:

\[
d = \frac{|-\frac{45}{26} + \frac{4}{52} + 1|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-\frac{45}{26} + \frac{2}{26} + \frac{26}{26}|}{5} = \frac{|\frac{-45 + 2 + 26}{26}|}{5}
\]
\[
d = \frac{|-17|}{26 \cdot 5} = \frac{17}{130}
\]

### Respuesta Final:
La distancia entre la recta paralela a \(-3x + 4y = -5\) que pasa por \((-1, -1)\) y el punto de intersección de las rectas es \(\frac{17}{130}\) unidades.

¿Te gustaría más detalles sobre algún paso?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo encontrar la distancia entre dos puntos en un plano?
2. ¿Qué significa que dos rectas sean paralelas en términos de sus pendientes?
3. ¿Cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales de dos variables?
4. ¿Cómo se deriva la fórmula de la distancia de un punto a una recta?
5. ¿Qué otros métodos existen para encontrar el punto de intersección de dos rectas?

**Tip**: Cuando encuentres ecuaciones de rectas paralelas, recuerda que las pendientes siempre serán iguales.

Encuentre la distancia entre la recta paralela a -3x+4y=-5 y que pasa por el punto (-1, -1), y el punto de intersección de las rectas -7x+2y=4 y 2x-8y =-1

Learn how to find the distance between a line parallel to -3x+4y=-5 passing through (-1, -1) and the intersection of lines -7x+2y=4 and 2x-8y=-1. This solution involves coordinate geometry, linear equations, and the formula for the distance between a point and a line. Suitable for students in Grades 10-12.

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