Determine todos os inteiros positivos n tais que

2n-1| n ^ 2 - 2n + 6

Queremos determinar todos os inteiros positivos \( n \) tais que \( 2n - 1 \) divide \( n^2 - 2n + 6 \). Em termos matemáticos, devemos encontrar os valores de \( n \) que satisfazem:

\[
2n - 1 \mid n^2 - 2n + 6
\]

Vamos seguir o processo:

### Passo 1: Análise da divisão
Precisamos verificar se \( 2n - 1 \) divide \( n^2 - 2n + 6 \). Vamos chamar \( d = 2n - 1 \). Então, a condição é:

\[
d \mid n^2 - 2n + 6
\]

Ou seja, queremos que exista um inteiro \( k \) tal que:

\[
n^2 - 2n + 6 = k(2n - 1)
\]

Podemos testar diferentes valores inteiros de \( n \) para verificar quando essa divisão é exata.

### Passo 2: Testando valores inteiros de \( n \)
Testaremos valores inteiros para \( n \) para ver quando \( 2n - 1 \) divide \( n^2 - 2n + 6 \).

1. **Para \( n = 1 \):**
   \[
   2n - 1 = 2(1) - 1 = 1
   \]
   \[
   n^2 - 2n + 6 = 1^2 - 2(1) + 6 = 1 - 2 + 6 = 5
   \]
   Aqui, \( 1 \) divide \( 5 \). Logo, \( n = 1 \) é uma solução.

2. **Para \( n = 2 \):**
   \[
   2n - 1 = 2(2) - 1 = 3
   \]
   \[
   n^2 - 2n + 6 = 2^2 - 2(2) + 6 = 4 - 4 + 6 = 6
   \]
   Aqui, \( 3 \) não divide \( 6 \) (divisão exata não ocorre). Logo, \( n = 2 \) não é uma solução.

3. **Para \( n = 3 \):**
   \[
   2n - 1 = 2(3) - 1 = 5
   \]
   \[
   n^2 - 2n + 6 = 3^2 - 2(3) + 6 = 9 - 6 + 6 = 9
   \]
   Aqui, \( 5 \) não divide \( 9 \) exatamente. Logo, \( n = 3 \) não é uma solução.

4. **Para \( n = 4 \):**
   \[
   2n - 1 = 2(4) - 1 = 7
   \]
   \[
   n^2 - 2n + 6 = 4^2 - 2(4) + 6 = 16 - 8 + 6 = 14
   \]
   Aqui, \( 7 \) divide \( 14 \). Logo, \( n = 4 \) é uma solução.

### Conclusão
Os inteiros positivos \( n \) que satisfazem a condição \( 2n - 1 \mid n^2 - 2n + 6 \) são:

\[
n = 1 \quad \text{e} \quad n = 4
\]

Esses são os únicos valores de \( n \) que satisfazem a condição.

### Perguntas relacionadas:

1. O que significa um número dividir outro exatamente?
2. Qual é o significado de \( n^2 - 2n + 6 \) na equação?
3. Como podemos generalizar essa solução para outras equações semelhantes?
4. Quais são os passos necessários para determinar quando um número divide outro?
5. O que aconteceria se testássemos números maiores para \( n \)?
6. Existe uma maneira algébrica direta de resolver isso sem testar valores individuais?
7. Como você definiria a divisibilidade em termos de álgebra?
8. Quais são outros métodos para resolver problemas de divisibilidade?

**Dica**: Sempre que testar divisibilidade, comece com valores menores para \( n \), pois muitas vezes as soluções são para pequenos inteiros.

Explore the solution to the problem of finding positive integers n such that 2n-1 divides n^2 - 2n + 6. This mathematical analysis covers divisibility principles and quadratic equation properties. Suitable for advanced high school students.

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