Si n es un n´umero natural, entonces 2n^2 − 4n + 31 es primo.

Vamos a analizar la expresión \( 2n^2 - 4n + 31 \) y verificar si es primo para algunos valores de \( n \), donde \( n \) es un número natural.

Primero, evaluamos la expresión para varios valores de \( n \):

1. Para \( n = 1 \):
\[
2(1)^2 - 4(1) + 31 = 2 - 4 + 31 = 29
\]
El número 29 es primo.

2. Para \( n = 2 \):
\[
2(2)^2 - 4(2) + 31 = 8 - 8 + 31 = 31
\]
El número 31 es primo.

3. Para \( n = 3 \):
\[
2(3)^2 - 4(3) + 31 = 18 - 12 + 31 = 37
\]
El número 37 es primo.

4. Para \( n = 4 \):
\[
2(4)^2 - 4(4) + 31 = 32 - 16 + 31 = 47
\]
El número 47 es primo.

5. Para \( n = 5 \):
\[
2(5)^2 - 4(5) + 31 = 50 - 20 + 31 = 61
\]
El número 61 es primo.

A partir de estos cálculos, parece que la expresión \( 2n^2 - 4n + 31 \) da números primos para los primeros valores de \( n \).

Sin embargo, para demostrar que siempre es primo, necesitaríamos probar esto para todos los números naturales \( n \), lo cual sería difícil de hacer directamente. Sin embargo, estos ejemplos indican que al menos para los primeros valores, la expresión genera números primos.

¿Quieres que exploremos más a fondo o hagamos una demostración más formal?

### Preguntas Relacionadas:
1. ¿Qué es un número primo y cómo se determina si un número es primo?
2. ¿Cómo se demuestra si una expresión cuadrática siempre genera números primos?
3. ¿Qué métodos existen para verificar si un número es primo de manera eficiente?
4. ¿Cómo afecta el valor de \( n \) a la forma de una expresión cuadrática?
5. ¿Existen otras expresiones similares que siempre generen números primos?

### Tip:
Para verificar si un número grande es primo, se utilizan algoritmos como la prueba de primalidad de Miller-Rabin o la Criba de Eratóstenes.

Si n es un número natural, entonces 2n^2 − 4n + 31 es primo.

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