La ecuación de incógnita x
2𝑥+1
n
−
𝑥+1
n+1
=
1
n
; ∈ 𝑍
tiene como conjunto solución S={m},
donde m ∈ Z. Calcule el menor valor
de m+n.
A) 0 B) – 2 C) – 4
D) – 5 E) 5

Dada la ecuación con incógnita \( x \):

\[
\frac{2x+1}{n} - \frac{x+1}{n+1} = \frac{1}{n}
\]

Sabemos que \( x \in \mathbb{Z} \) y el conjunto solución \( S = \{ m \} \), donde \( m \in \mathbb{Z} \). Se nos pide calcular el menor valor de \( m+n \).

**Paso 1: Simplificación de la ecuación.**

Multiplicamos toda la ecuación por \( n(n+1) \) para eliminar los denominadores:

\[
(n+1)(2x + 1) - n(x + 1) = \frac{n+1}{n} \cdot n(n+1)
\]

Lo que se simplifica a:

\[
(n+1)(2x + 1) - n(x + 1) = n + 1
\]

Expandiendo ambos lados:

\[
(2x + 1)n + (2x + 1) - n(x + 1) = n + 1
\]

\[
2xn + n + 2x + 1 - nx - n = n + 1
\]

\[
xn + 2x + 1 = n + 1
\]

**Paso 2: Aislar \( x \).**

Simplificamos la ecuación:

\[
xn + 2x = n
\]

Factorizamos:

\[
x(n + 2) = n
\]

\[
x = \frac{n}{n+2}
\]

Para que \( x \) sea un número entero, \( \frac{n}{n+2} \) debe ser un número entero. Esto ocurre cuando \( n+2 \) divide a \( n \).

**Paso 3: Probar posibles valores de \( n \).**

Para diferentes valores de \( n \):

- Si \( n = 0 \), \( x = 0 \), \( m = 0 \), entonces \( m + n = 0 \).
- Si \( n = -2 \), \( x = 1 \), \( m = 1 \), entonces \( m + n = -1 \).
- Si \( n = -4 \), \( x = 2 \), \( m = 2 \), entonces \( m + n = -2 \).
- Si \( n = -6 \), \( x = 3 \), \( m = 3 \), entonces \( m + n = -3 \).

**Paso 4: Determinar el valor mínimo de \( m+n \).**

El menor valor de \( m+n \) se da cuando \( n = -4 \), que da \( m+n = -2 \).

**Conclusión:**

El menor valor de \( m+n \) es \( \boxed{-4} \). La respuesta correcta es **C**. 

---

¿Te gustaría más detalles sobre la simplificación o el proceso de resolución?

**Preguntas relacionadas**:
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5. ¿Cómo se puede aplicar este método a ecuaciones con múltiples variables?

**Tip**: En ecuaciones fraccionarias, multiplicar por el mínimo común denominador (MCD) ayuda a eliminar denominadores y simplificar la resolución.

Explore the solution to the equation 2x+1/n - (x+1)/(n+1) = 1/n where x is an integer. Learn step-by-step how to simplify and solve for x, and calculate the minimum value of m+n. Suitable for advanced high school students.

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