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Calcule la derivada de las siguientes funciones usando la regla de la cadena

La función que has proporcionado es:

\[
f(x) = \sqrt[5]{(x^3 - 6x + 7)^4}
\]

Para derivar esta función usando la **regla de la cadena**, primero vamos a reescribirla de forma más conveniente para aplicar las reglas de derivación:

\[
f(x) = \left( (x^3 - 6x + 7)^4 \right)^{\frac{1}{5}}
\]

Ahora aplicamos la regla de la cadena. La derivada de \( f(x) \) se puede dividir en dos pasos:

### Paso 1: Derivar la parte externa
La función externa es \( u^{\frac{1}{5}} \), donde \( u = (x^3 - 6x + 7)^4 \). La derivada de esta parte usando la potencia es:

\[
\frac{d}{dx}\left(u^{\frac{1}{5}}\right) = \frac{1}{5} u^{-\frac{4}{5}} \cdot \frac{du}{dx}
\]

### Paso 2: Derivar la parte interna
Ahora derivamos la parte interna, \( u = (x^3 - 6x + 7)^4 \). De nuevo, aplicamos la regla de la cadena. Primero derivamos la potencia de 4:

\[
\frac{d}{dx}\left((x^3 - 6x + 7)^4\right) = 4(x^3 - 6x + 7)^3 \cdot \frac{d}{dx}(x^3 - 6x + 7)
\]

Finalmente, derivamos \( x^3 - 6x + 7 \):

\[
\frac{d}{dx}(x^3 - 6x + 7) = 3x^2 - 6
\]

### Juntando todo
Ahora sustituimos estos resultados en la derivada total:

\[
f'(x) = \frac{1}{5}(x^3 - 6x + 7)^{-\frac{4}{5}} \cdot \left[ 4(x^3 - 6x + 7)^3 \cdot (3x^2 - 6) \right]
\]

Simplificando:

\[
f'(x) = \frac{4}{5}(x^3 - 6x + 7)^{-\frac{4}{5} + 3} \cdot (3x^2 - 6)
\]

\[
f'(x) = \frac{4}{5}(x^3 - 6x + 7)^{\frac{11}{5}} \cdot (3x^2 - 6)
\]

Esta es la derivada de la función \( f(x) \).

---

¿Te gustaría más detalles sobre los pasos o algún concepto específico? Aquí tienes 5 preguntas relacionadas que podrían interesarte:

1. ¿Cómo se aplica la regla de la cadena en funciones compuestas más complejas?
2. ¿Cuál es la diferencia entre derivadas de funciones con raíces y funciones exponenciales?
3. ¿Cómo se simplifican expresiones con exponentes fraccionarios después de derivar?
4. ¿Qué técnicas se utilizan para derivar productos o cocientes de funciones?
5. ¿Cómo cambiaría la derivada si la función incluyera más términos o factores?

**Tip:** Siempre es útil reescribir funciones complicadas con exponentes fraccionarios para facilitar la aplicación de las reglas de derivación.

Calcula la derivada de la función f(x) = (x^3 - 6x + 7)^4 usando la regla de la cadena. Esta solución muestra paso a paso cómo aplicar la regla de la cadena y simplificar expresiones complejas con exponentes fraccionarios.

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