De 1,150 turistas extranjeros 782 habían registrado su viaje a través de un agente de viajes. 
a)	Calcule e interprete un  intervalo del 96 % para estimar la proporción de turistas extranjeros que utilizan los servicios de agencias de viajes.  
b)	Construya un intervalo de confianza del 92% para la proporcion turistas extranjeros que utilizan los servicios de agencias de viajes.                            
c)	¿A qué nivel de confianza podría decir que la proporcion turistas extranjeros que utilizan los servicios de agencias de viajes es de 0.68 ± 0.0298?


Vamos a resolver cada parte del problema paso a paso. Se trata de un problema clásico de estimación de intervalos de confianza para la proporción de turistas extranjeros que utilizan los servicios de agencias de viajes.

### Datos:
- Número total de turistas extranjeros, \( n = 1150 \)
- Número de turistas que usaron un agente de viajes, \( x = 782 \)
- Proporción muestral, \( \hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{782}{1150} \approx 0.68 \)

### a) Calcular e interpretar un intervalo de confianza del 96% para estimar la proporción de turistas extranjeros que utilizan los servicios de agencias de viajes.

La fórmula para el intervalo de confianza para una proporción es:
\[
\hat{p} \pm Z_{\alpha/2} \times \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}
\]
donde:
- \( \hat{p} \) es la proporción muestral.
- \( Z_{\alpha/2} \) es el valor crítico de la distribución normal para el nivel de confianza.
- \( n \) es el tamaño de la muestra.

Para un nivel de confianza del 96%, el valor crítico \( Z_{\alpha/2} \) es aproximadamente **2.054**.

Ahora calculamos el error estándar:
\[
SE = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0.68(1-0.68)}{1150}} \approx 0.0137
\]

Ahora, aplicamos la fórmula del intervalo de confianza:
\[
IC_{96\%} = 0.68 \pm 2.054 \times 0.0137
\]
\[
IC_{96\%} = 0.68 \pm 0.0281
\]
\[
IC_{96\%} = (0.6519, 0.7081)
\]

**Interpretación**: Con un 96% de confianza, podemos decir que la proporción de turistas extranjeros que utilizan los servicios de agencias de viajes está entre **65.19% y 70.81%**.

---

### b) Construir un intervalo de confianza del 92% para la proporción de turistas extranjeros que utilizan los servicios de agencias de viajes.

Para un nivel de confianza del 92%, el valor crítico \( Z_{\alpha/2} \) es aproximadamente **1.75**.

Usamos el mismo error estándar calculado anteriormente:
\[
SE = 0.0137
\]

Ahora calculamos el intervalo de confianza:
\[
IC_{92\%} = 0.68 \pm 1.75 \times 0.0137
\]
\[
IC_{92\%} = 0.68 \pm 0.0240
\]
\[
IC_{92\%} = (0.6560, 0.7040)
\]

**Interpretación**: Con un 92% de confianza, podemos decir que la proporción de turistas extranjeros que utilizan los servicios de agencias de viajes está entre **65.60% y 70.40%**.

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### c) Nivel de confianza para decir que la proporción es \( 0.68 \pm 0.0298 \).

Aquí necesitamos encontrar el nivel de confianza correspondiente a un margen de error de **0.0298**.

El margen de error es dado por:
\[
ME = Z_{\alpha/2} \times SE
\]

Ya sabemos que:
- \( SE = 0.0137 \)
- \( ME = 0.0298 \)

Despejamos \( Z_{\alpha/2} \):
\[
Z_{\alpha/2} = \frac{ME}{SE} = \frac{0.0298}{0.0137} \approx 2.18
\]

Ahora, encontramos el nivel de confianza correspondiente a un valor crítico \( Z_{\alpha/2} = 2.18 \).

Buscando en una tabla de la distribución normal, el valor \( Z = 2.18 \) corresponde aproximadamente a un **nivel de confianza del 96.46%**.

**Interpretación**: Podemos decir con un **96.46% de confianza** que la proporción de turistas extranjeros que utilizan los servicios de agencias de viajes está en el intervalo \( 0.68 \pm 0.0298 \).

---

### ¿Tienes alguna duda o te gustaría más detalles?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo afecta el tamaño de la muestra al intervalo de confianza?
2. ¿Cómo se calcula el valor crítico \( Z_{\alpha/2} \) para diferentes niveles de confianza?
3. ¿Qué sucede si cambiamos el nivel de confianza a 99%? ¿Cómo afecta al intervalo?
4. ¿Cómo se interpretan los intervalos de confianza en términos de decisiones empresariales?
5. ¿Cómo cambiaría el intervalo si hubiéramos tenido una muestra más pequeña, por ejemplo de 500 turistas?

### Tip:
Cuando el tamaño de la muestra es grande, los intervalos de confianza tienden a ser más estrechos, lo que permite estimaciones más precisas de la proporción.

De 1,150 turistas extranjeros 782 habían registrado su viaje a través de un agente de viajes. 
a) Calcule e interprete un intervalo del 96 % para estimar la proporción de turistas extranjeros que utilizan los servicios de agencias de viajes. 
b) Construya un intervalo de confianza del 92% para la proporcion turistas extranjeros que utilizan los servicios de agencias de viajes. 
c) ¿A qué nivel de confianza podría decir que la proporcion turistas extranjeros que utilizan los servicios de agencias de viajes es de 0.68 ± 0.0298?

Aprenda a calcular intervalos de confianza para estimar la proporción de turistas extranjeros que utilizan agentes de viajes. Este problema utiliza fórmulas estadísticas, incluyendo intervalos de confianza del 96% y 92%, y calcula el nivel de confianza basado en un margen de error. Datos: 782 de 1,150 turistas usaron un agente de viajes, con una proporción estimada de 0.68.

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