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La función dada es:

\[
f(x) = \sqrt[3]{\frac{x^5 - x^3 + 3}{x^2}}
\]

Para derivar esta función, seguimos estos pasos:

### Paso 1: Simplificar la función
Primero, podemos reescribir la función de una forma más simple:

\[
f(x) = \left(\frac{x^5 - x^3 + 3}{x^2}\right)^{\frac{1}{3}}
\]

Ahora simplificamos la fracción dentro del radical:

\[
f(x) = \left(x^3 - x + \frac{3}{x^2}\right)^{\frac{1}{3}}
\]

### Paso 2: Derivar usando la regla de la cadena

Sea \(u(x) = x^3 - x + \frac{3}{x^2}\), entonces la función se convierte en:

\[
f(x) = \left(u(x)\right)^{\frac{1}{3}}
\]

Usamos la regla de la cadena para derivar:

\[
f'(x) = \frac{1}{3} \left(u(x)\right)^{-\frac{2}{3}} \cdot u'(x)
\]

### Paso 3: Calcular la derivada de \(u(x)\)

Derivamos \(u(x)\) respecto a \(x\):

\[
u'(x) = \frac{d}{dx} \left(x^3 - x + \frac{3}{x^2}\right)
\]

Aplicamos la derivada término a término:

\[
u'(x) = 3x^2 - 1 - \frac{6}{x^3}
\]

### Paso 4: Sustituir \(u'(x)\) en la derivada de \(f(x)\)

Ahora sustituimos \(u'(x)\) en la expresión de la derivada de \(f(x)\):

\[
f'(x) = \frac{1}{3} \left(x^3 - x + \frac{3}{x^2}\right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \left(3x^2 - 1 - \frac{6}{x^3}\right)
\]

### Resultado final

La derivada de la función es:

\[
f'(x) = \frac{1}{3} \left(x^3 - x + \frac{3}{x^2}\right)^{-\frac{2}{3}} \cdot \left(3x^2 - 1 - \frac{6}{x^3}\right)
\]

---

¿Quieres más detalles o tienes alguna pregunta?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se aplican las reglas de derivación en funciones con raíces de orden superior?
2. ¿Qué pasos seguir para encontrar la segunda derivada de esta función?
3. ¿Cómo se utiliza la regla del producto en derivadas?
4. ¿Qué otros métodos se pueden usar para simplificar la derivada antes de calcularla?
5. ¿Cómo influye la elección de la simplificación inicial en la dificultad del cálculo de la derivada?

**Tip**: La regla de la cadena es una herramienta esencial en cálculo y se utiliza siempre que una función se puede descomponer en una composición de funciones más simples.

Aprende cómo derivar la función f(x) = (x^5 - x^3 + 3)^(1/3) / x^2 paso a paso. Este problema cubre conceptos clave de cálculo, incluyendo el uso de la regla de la cadena y derivadas de funciones con exponentes fraccionarios. Adecuado para estudiantes de secundaria avanzada y universidad.

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