A partir de uma função f colon fraktur R rightwards arrow fraktur R, cujo limite é  limit as x rightwards arrow infinity of f left parenthesis x right parenthesis equals L ; e uma sequência a subscript n, em que a subscript n equals f left parenthesis n right parenthesis   , pode-se concluir que  limit as n rightwards arrow infinity of a subscript n equals L  e que a sequência converge.

 

Dada a sequência  a subscript n equals fraction numerator square root of n over denominator n factorial end fraction , assinale a alternativa que indica se essa sequência é convergente e o valor do limite.

	a.	
Divergente,  L equals negative infinity.

	b.	
Divergente,  L equals infinity.

	c.	
Convergente,  L equals 1.

	d.	
Convergente,  L equals 0.

	e.	
Convergente,  L equals 2.



Vamos analisar a sequência \( a_n = \frac{\sqrt{n}}{n!} \) para determinar se ela é convergente e, em caso afirmativo, encontrar o valor do limite.

1. **Comportamento Assintótico**: À medida que \( n \) cresce, \( n! \) (o fatorial de \( n \)) cresce muito mais rapidamente do que \( \sqrt{n} \). O fatorial de um número é uma multiplicação de todos os números inteiros positivos até aquele número, o que leva a um crescimento exponencial.

2. **Análise do Limite**: Vamos calcular o limite da sequência \( a_n = \frac{\sqrt{n}}{n!} \) quando \( n \) tende ao infinito:
   \[
   \lim_{{n \to \infty}} a_n = \lim_{{n \to \infty}} \frac{\sqrt{n}}{n!}.
   \]
   
   Devido ao crescimento muito rápido de \( n! \) comparado com \( \sqrt{n} \), o numerador se torna insignificante em comparação ao denominador, levando o termo \( \frac{\sqrt{n}}{n!} \) a tender para 0.

Portanto, o limite da sequência é:
\[
\lim_{{n \to \infty}} \frac{\sqrt{n}}{n!} = 0.
\]
A sequência é **convergente** e o valor do limite \( L \) é **0**.

A alternativa correta é a letra **d. Convergente, \( L = 0 \)**.

---

**Você gostaria de mais detalhes ou tem alguma dúvida?**

**Questões Relacionadas:**

1. Como comparar a taxa de crescimento de \( \sqrt{n} \) e \( n! \)?
2. O que ocorre com a sequência se substituirmos \( \sqrt{n} \) por \( n^k \), onde \( k \) é uma constante?
3. Como se comporta a sequência \( a_n = \frac{n!}{n^n} \)?
4. Como provar formalmente que \( \lim_{{n \to \infty}} \frac{\sqrt{n}}{n!} = 0 \)?
5. Quais outras funções podem ser comparadas ao fatorial em termos de taxa de crescimento?

**Dica:** O fatorial cresce muito rapidamente, superando exponenciais, potências e raízes para valores grandes de \( n \).

Explore the convergence of the sequence a_n = sqrt(n) / n! and determine its limit as n approaches infinity. This problem involves analyzing sequences, limits, and factorial growth in mathematical analysis.

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