Considere a sequˆencia dada por
a1 =
1
2
, an =
√
an−1.
Mostre que {an} ´e crescente e limitada por cima e calcule o limite

Vamos analisar a sequência \(\{a_n\}\) definida por:

\[
a_1 = \frac{1}{2}, \quad a_n = \sqrt{a_{n-1}} \text{ para } n \geq 2.
\]

### 1. Mostrar que a sequência \(\{a_n\}\) é crescente
Para provar que a sequência \(\{a_n\}\) é crescente, precisamos mostrar que \(a_n \geq a_{n-1}\) para todo \(n \geq 2\).

Como \(a_n = \sqrt{a_{n-1}}\), queremos provar que:

\[
\sqrt{a_{n-1}} \geq a_{n-1}
\]

Isso é equivalente a mostrar que:

\[
\sqrt{a_{n-1}} \geq a_{n-1} \quad \text{ou} \quad (\sqrt{a_{n-

Explore the mathematical analysis of a recursive sequence defined by a_n = sqrt(a_{n-1}). Learn how to prove that the sequence is increasing and bounded above, and calculate its limit. Suitable for advanced high school students studying sequences and limits.

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