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Hablando de límites, hacer estos ejercicios, con su explicación pasa a paso del por qué en cada parte del procedimiento. Recuerda que esto es una tarea para hoy, y no soy buena en matemáticas, así que necesito tu ayuda

Vamos a resolver cada uno de los límites que aparecen en la imagen, explicando paso a paso el proceso.

### a) \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}\)

Este límite es un caso conocido y común en el cálculo de límites trigonométricos:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1
\]

**Explicación**: La razón \(\frac{\tan x}{x}\) tiende a 1 cuando \(x\) se aproxima a 0, similar a \(\frac{\sin x}{x}\), por un desarrollo en serie de Taylor o utilizando la regla de L'Hopital, ya que tanto el numerador como el denominador tienden a 0.

### b) \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{3x}\)

Podemos reescribir el límite de la siguiente manera:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{3x} = \frac{1}{3} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
\]

Sabemos que \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\), por lo que:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{3x} = \frac{1}{3} \cdot 1 = \frac{1}{3}
\]

**Explicación**: Aprovechamos la propiedad conocida de \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\) y la constante \(3\) en el denominador sale fuera del límite.

### c) \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{x}\)

Este límite lo podemos simplificar utilizando un cambio de variable, pero directamente, observamos lo siguiente:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{x} = 7 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 7x}{7x} = 7 \cdot 1 = 7
\]

**Explicación**: Hemos factorizado el 7 fuera, ya que \(7x\) es el argumento del seno. Luego aplicamos \(\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1\).

### d) \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 5x}{10x}\)

Este límite es más complicado y utiliza un conocido resultado trigonométrico que nos dice que:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 5x}{(5x)^2} = \frac{1}{2}
\]

Para resolver este límite, lo transformamos de la siguiente manera:

\[
\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 5x}{10x} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{(5x)^2}{10x} = 0
\]

**Explicación**: Utilizamos la expansión de Taylor de \(\cos x\) cerca de 0, donde \(\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}\), y factorizamos. El término lineal es 0.

### g) \(\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{\cot x}\)

Primero, reescribamos el límite en términos de funciones más simples:

\[
\frac{\cos x}{\cot x} = \frac{\cos x}{\frac{\cos x}{\sin x}} = \sin x
\]

Por lo tanto, el límite se convierte en:

\[
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \sin x = \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) = 1
\]

**Explicación**: Simplificamos \(\cot x\) usando su definición \(\frac{\cos x}{\sin x}\), lo que resulta en \(\sin x\), y evaluamos el límite en \(\frac{\pi}{2}\).

---

¿Te gustaría más detalles o alguna aclaración sobre algún paso? Aquí te dejo 5 preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se aplican los desarrollos en serie de Taylor en estos límites trigonométricos?
2. ¿Qué diferencia existe entre el uso de la regla de L'Hopital y las identidades trigonométricas en la resolución de límites?
3. ¿Por qué \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\) es un límite fundamental en el cálculo?
4. ¿Cómo podemos simplificar límites complejos usando cambios de variable?
5. ¿Qué métodos alternativos se pueden usar para resolver límites cuando se involucra un término al cuadrado como en el límite d)?

**Tip**: Practicar los límites trigonométricos básicos como \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\) y \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1\) te ayudará a resolver problemas más complicados en el futuro.

Calculating the following limits: a) Lim(x -> 0) (tan(x)/x), b) Lim(x -> 0) (sin(x)/3x), c) Lim(x -> 0) (sin(7x)/x), d) Lim(x -> 0) (1 - cos(5x))/10x, g) Lim(x -> pi/2) (cos(x)/cot(x))

Learn how to calculate common trigonometric limits, including limits of sine, cosine, and tangent functions as x approaches 0 or pi/2. Detailed explanations for each step using L'Hopital's Rule and Taylor Series expansions. Suitable for high school students in Grades 11-12.

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