En una ciudad, el 35% de sus habitantes tienen una mascota. Se va a realizar una encuesta en esta ciudad (La pregunta es: ¿Posee una mascota?) para seleccionar a las 5 primeras mascotas, las cuales se harán acreedoras de un premio.  ¿ calcula La distribución de probabilidad junto a sus parámetros que la caracterizan?

Este problema se puede modelar utilizando una distribución binomial, dado que estamos interesados en contar el número de éxitos (personas que tienen mascotas) en un número fijo de intentos (personas encuestadas). 

### Definición de la variable:
Sea \( X \) la variable aleatoria que representa el número de personas con mascotas en una muestra de 5 habitantes.

### Características de la distribución binomial:
1. **Número de ensayos (\(n\))**: En este caso, se encuestan a 5 personas, por lo tanto, \( n = 5 \).
2. **Probabilidad de éxito (\(p\))**: La probabilidad de que una persona tenga una mascota es 35%, es decir, \( p = 0.35 \).
3. **Probabilidad de fracaso (\(q\))**: La probabilidad de que una persona no tenga mascota es \( q = 1 - p = 0.65 \).

### Distribución de probabilidad:
La distribución de probabilidad de \( X \) está dada por:

\[
P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}
\]

Donde \( k \) es el número de éxitos (personas con mascotas) en 5 encuestados.

Podemos calcular \( P(X = k) \) para \( k = 0, 1, 2, 3, 4, 5 \).

### Parámetros de la distribución binomial:
1. **Esperanza (media)** \( \mu \): 
   \[
   \mu = n \cdot p = 5 \cdot 0.35 = 1.75
   \]
   
2. **Varianza** \( \sigma^2 \): 
   \[
   \sigma^2 = n \cdot p \cdot q = 5 \cdot 0.35 \cdot 0.65 = 1.1375
   \]
   
3. **Desviación estándar** \( \sigma \): 
   \[
   \sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{1.1375} \approx 1.066
   \]

¿Te gustaría que calcule las probabilidades específicas para \( k = 0 \) hasta \( k = 5 \) o tienes alguna otra pregunta?

---

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se calcula la probabilidad acumulada en una distribución binomial?
2. ¿Qué aplicaciones prácticas tiene la distribución binomial en encuestas?
3. ¿Cómo cambiarían los parámetros si se encuestaran más personas?
4. ¿Cómo se interpreta la esperanza y la varianza en este contexto?
5. ¿Qué sucede con la distribución si la probabilidad de éxito cambia?

**Tip:** La distribución binomial es muy útil para modelar situaciones con un número fijo de ensayos independientes, cada uno con dos posibles resultados (éxito o fracaso).

Understand how to calculate the probability distribution in a binomial experiment with a defined number of trials and a fixed probability of success. Learn the formula and parameters for a given problem involving pet ownership in a city survey.

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