Die Formel für die Binomialverteilung beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit \( p \) genau \( k \) Mal in \( n \) unabhängigen Versuchen auftritt.

### Formel der Binomialverteilung

\[
P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n-k}
\]

### Erläuterung der einzelnen Parameter:

- \( P(X = k) \) ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis genau \( k \) Mal eintritt.
- \( \binom{n}{k} \) ist der Binomialkoeffizient, der die Anzahl der Möglichkeiten angibt, wie \( k \) Erfolge in \( n \) Versuchen auftreten können:
  \[
  \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n - k)!}
  \]
- \( p \) ist die Wahrscheinlichkeit des Erfolgs bei einem einzelnen Versuch.
- \( k \) ist die Anzahl der Erfolge, für die die Wahrscheinlichkeit berechnet werden soll.
- \( n \) ist die Gesamtzahl der Versuche.
- \( (1 - p) \) ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis nicht eintritt (Misserfolg).
  
### Beispiel:
Angenommen, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Frau ein Festival besucht, beträgt \( p = 0,3 \). Die Wahrscheinlichkeit, dass unter 15 kontrollierten Besuchern genau 3 Frauen sind, wäre:

\[
P(X = 3) = \binom{15}{3} \cdot 0,3^3 \cdot 0,7^{12}
\]

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### Verwandte Fragen:
1. Wie kann man den Binomialkoeffizienten \( \binom{n}{k} \) manuell berechnen?
2. Wie unterscheidet sich die Binomialverteilung von der Poisson-Verteilung?
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4. Wie würde sich die Wahrscheinlichkeit in der Formel ändern, wenn \( p \) erhöht wird?
5. Welche Rolle spielt der Binomialkoeffizient in der Wahrscheinlichkeitstheorie?
6. Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit bei negativen Binomialverteilungen?
7. Wie beeinflusst die Anzahl der Versuche \( n \) die Form der Binomialverteilung?
8. Wann ist die Verwendung der Binomialverteilung angemessen?

### Tipp:
Wenn \( n \) groß und \( p \) klein ist, kann die Binomialverteilung oft durch die Poisson-Verteilung approximiert werden, was die Berechnungen vereinfacht.

Explore the binomial distribution formula and its application in probability theory. Learn how to calculate the probability of exactly k successes in n independent trials with a given success probability. Includes examples and explanations.

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