En una ciudad, el 35% de sus habitantes tienen una mascota. Se va a realizar una encuesta en esta ciudad (La pregunta es: ¿Posee una mascota?) para seleccionar a las 5 primeras mascotas, las cuales se harán acreedoras de un premio. Plantea una probabilidad acumulada y encuéntrala.?

Para resolver este problema, primero necesitamos comprender qué se nos pide y qué significan los conceptos involucrados. Aquí, estamos interesados en la **probabilidad acumulada** de seleccionar a las 5 primeras personas que tienen una mascota en la encuesta.

### 1. Modelo y Suposiciones
- Supongamos que seleccionamos personas una por una al azar.
- La probabilidad de que una persona tenga una mascota es \( p = 0.35 \).
- La probabilidad de que una persona no tenga una mascota es \( q = 1 - p = 0.65 \).

### 2. Probabilidad de obtener las primeras 5 personas con mascotas
Queremos encontrar la probabilidad acumulada de obtener las 5 primeras personas con mascotas en una serie de \( n \) selecciones.

#### a) Distribución Geométrica Generalizada
Este problema puede ser modelado usando una **distribución geométrica generalizada**. En este caso, estamos interesados en la probabilidad de que exactamente \( x \) selecciones sean necesarias para encontrar a las 5 personas que tienen una mascota.

La fórmula para la probabilidad de que los 5 éxitos ocurran en exactamente \( x \) intentos es:

\[
P(X = x) = \binom{x-1}{5-1} p^5 q^{x-5}
\]

Aquí:
- \( x-1 \) es el número de selecciones totales menos 1, porque estamos incluyendo la última selección que es un éxito.
- \( \binom{x-1}{5-1} \) es el número de maneras de distribuir los otros 4 éxitos en los primeros \( x-1 \) intentos.
- \( p^5 \) es la probabilidad de tener exactamente 5 éxitos.
- \( q^{x-5} \) es la probabilidad de tener \( x-5 \) fracasos.

#### b) Probabilidad acumulada
La **probabilidad acumulada** de obtener las primeras 5 personas con mascotas en \( n \) selecciones es la suma de las probabilidades desde \( x = 5 \) hasta \( x = n \):

\[
P(X \leq n) = \sum_{x=5}^{n} \binom{x-1}{5-1} p^5 q^{x-5}
\]

### 3. Cálculo
Si necesitamos una probabilidad acumulada exacta para un número \( n \) específico de selecciones, podemos calcularla sumando los términos desde \( x = 5 \) hasta \( n \). Por simplicidad, podemos calcular esto para un valor específico de \( n \).

¿Deseas que calculemos esta probabilidad para un valor específico de \( n \), o quieres ver cómo se desarrolla el cálculo?

Learn how to calculate the cumulative probability of selecting the first 5 pet owners in a city survey. This problem involves understanding probability concepts such as geometric distribution and binomial coefficients. Suitable for advanced high school students.

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