En una ciudad, el 35% de sus habitantes tienen una mascota. Se va a realizar una encuesta en esta ciudad (La pregunta es: ¿Posee una mascota?) para seleccionar a las 5 primeras mascotas, las cuales se harán acreedoras de un premio. Calcula la  distribución de probabilidad junto a sus parámetros que la caracterizan?

Para resolver el problema, dado que ya identificamos que la distribución es una **binomial negativa**, procedemos a calcular la distribución de probabilidad junto con sus parámetros característicos.

### Parámetros de la Distribución Binomial Negativa

1. **Número de éxitos requeridos (r)**:
   - Este es el número de personas con mascotas que se desea encontrar.
   - En este caso, \( r = 5 \).

2. **Probabilidad de éxito (p)**:
   - La probabilidad de que una persona tenga una mascota es del 35%.
   - Por lo tanto, \( p = 0.35 \).

3. **Probabilidad de fracaso (q)**:
   - La probabilidad de que una persona no tenga una mascota es \( q = 1 - p \).
   - \( q = 1 - 0.35 = 0.65 \).

### Función de Probabilidad

La función de probabilidad para la distribución binomial negativa está dada por:

\[
P(X = k) = \binom{k-1}{r-1} \cdot p^r \cdot q^{k-r}
\]

Donde:
- \( X \) es el número total de encuestados necesarios para encontrar 5 personas con mascotas.
- \( k \) es el número total de encuestas necesarias (incluyendo éxitos y fracasos).
- \( r \) es el número de éxitos requeridos (en este caso, \( r = 5 \)).
- \( p \) es la probabilidad de éxito (0.35).
- \( q \) es la probabilidad de fracaso (0.65).
- \( \binom{k-1}{r-1} \) es el coeficiente binomial.

### Ejemplo de Cálculo

Supongamos que quieres calcular la probabilidad de que se necesiten exactamente \( k = 10 \) encuestas para encontrar las 5 personas con mascotas. La fórmula sería:

\[
P(X = 10) = \binom{9}{4} \cdot (0.35)^5 \cdot (0.65)^5
\]

Calculando paso a paso:
- \( \binom{9}{4} = \frac{9!}{4!(9-4)!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126 \).
- \( (0.35)^5 = 0.00525 \).
- \( (0.65)^5 = 0.11603 \).

\[
P(X = 10) = 126 \cdot 0.00525 \cdot 0.11603 \approx 0.0767
\]

Esto significa que la probabilidad de que necesites exactamente 10 encuestas para encontrar a las 5 personas con mascotas es aproximadamente 0.0767.

### Media y Varianza

La **media** y la **varianza** de la distribución binomial negativa se calculan como:

- **Media** \( \mu = \frac{r}{p} = \frac{5}{0.35} \approx 14.29 \).
- **Varianza** \( \sigma^2 = \frac{r(1-p)}{p^2} = \frac{5 \times 0.65}{0.35^2} \approx 26.53 \).

---

¿Tienes alguna duda o quieres explorar más detalles? Aquí hay algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo varía la distribución de probabilidad si se cambia el número de éxitos requeridos?
2. ¿Cómo se calcularía la probabilidad acumulativa para un número determinado de encuestas?
3. ¿Cuál es el impacto en la media y la varianza si la probabilidad de éxito cambia?
4. ¿Qué suposiciones deben cumplirse para que una distribución binomial negativa sea aplicable?
5. ¿Cómo se interpretan los resultados de la media y la varianza en el contexto de este problema?

**Tip**: Las distribuciones como la binomial negativa son útiles para modelar experimentos de repetición hasta alcanzar un número específico de éxitos, lo que es común en situaciones de encuestas o ensayos.

Learn how to calculate the probability distribution parameters for a negative binomial distribution problem involving a city where 35% of inhabitants have pets. Understand the concept of negative binomial distribution, including its parameters, such as number of required successes and success probability. Explore step-by-step examples and applications.

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