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Sempre que houver o quociente entre funções em uma derivada, deve-se aplicar a regra do quociente. Calcule a derivada abaixo: 

Para calcular a derivada da função \( f(x) = \frac{x^2}{e^x} \), devemos aplicar a regra do quociente. A regra do quociente é dada por:

\[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

Neste caso, \( u = x^2 \) e \( v = e^x \). Primeiro, precisamos calcular as derivadas de \( u \) e \( v \):

\[ u = x^2 \implies u' = 2x \]
\[ v = e^x \implies v' = e^x \]

Agora, aplicamos a regra do quociente:

\[ f'(x) = \left( \frac{x^2}{e^x} \right)' = \frac{(2x)e^x - (x^2)e^x}{(e^x)^2} \]

Simplificamos a expressão:

\[ f'(x) = \frac{2x e^x - x^2 e^x}{e^{2x}} \]

Fatorando \( e^x \) no numerador:

\[ f'(x) = \frac{e^x (2x - x^2)}{e^{2x}} \]

Dividindo \( e^x \):

\[ f'(x) = \frac{2x - x^2}{e^x} \]

Portanto, a derivada de \( f(x) = \frac{x^2}{e^x} \) é:

\[ f'(x) = \frac{2x - x^2}{e^x} \]

Se precisar de mais detalhes ou tiver alguma dúvida, estou à disposição. Aqui estão algumas perguntas que você pode querer explorar:

1. Como integrar \( f(x) = \frac{x^2}{e^x} \)?
2. Qual é o comportamento assintótico de \( f(x) \) quando \( x \to \infty \)?
3. Como calcular a segunda derivada de \( f(x) = \frac{x^2}{e^x} \)?
4. Quais são os pontos críticos da função \( f(x) \)?
5. Como encontrar o valor máximo ou mínimo de \( f(x) \)?

**Dica:** Quando aplicar a regra do quociente, sempre verifique as derivadas de \( u \) e \( v \) com cuidado para evitar erros.

Learn how to calculate the derivative of f(x) = x^2 / e^x using the quotient rule for derivatives. Step-by-step solution with detailed explanation of applying the quotient rule, calculating derivatives of x^2 and e^x, and simplifying the result. Suitable for advanced high school students and calculus enthusiasts.

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