La función dada es:

\[
f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}
\]

Para derivarla, utilizamos la regla del cociente, que se expresa como:

\[
\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{v \cdot u' - u \cdot v'}{v^2}
\]

Donde:
- \( u = x \)
- \( v = x^2 + 1 \)

**Paso 1:** Derivemos \( u \) y \( v \).
- \( u' = \frac{d}{dx}(x) = 1 \)
- \( v' = \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = 2x \)

**Paso 2:** Sustituimos en la fórmula de la regla del cociente:

\[
f'(x) = \frac{(x^2 + 1) \cdot 1 - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}
\]

**Paso 3:** Simplificamos el numerador:

\[
f'(x) = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]

\[
f'(x) = \frac{-x^2 + 1}{(x^2 + 1)^2}
\]

Por lo tanto, la derivada de la función es:

\[
f'(x) = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}
\]

¿Te gustaría más detalles o alguna aclaración sobre los pasos?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se usa la regla del producto para derivadas?
2. ¿Qué otras reglas de derivación existen, además de la del cociente?
3. ¿Cómo se derivan funciones trigonométricas?
4. ¿Qué pasa cuando derivamos funciones con raíces cuadradas?
5. ¿Cómo se resuelven derivadas de funciones compuestas (regla de la cadena)?

**Tip:** La regla del cociente es útil para derivar fracciones, pero si la función es más simple, considera simplificarla antes de derivar.

Discover how to calculate the derivative of the function f(x) = x / (x^2 + 1) step by step using the quotient rule. This solution covers important calculus concepts like the derivative, quotient rule, and simplifying rational expressions. Suitable for high school students in Grades 10-12.

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