次の定積分を求めよ。
(1) ∫ 1
−2
(x
2 − 5)dx + 2 ∫ 1
−2
(x
2 + x)dx
(2) ∫ 1
0
(3x
2 − x)dx +
∫ 2
1
(3x
2 − x)dx
(3) ∫ 4
−1
(x
2 − 2x + 3)dx −
∫ 4
2
(x
2 − 2x + 3)dx

これらの定積分を順番に計算していきます。

### 問題 1
\[
I_1 = \int_{-2}^{1} (x^2 - 5)\,dx + 2 \int_{-2}^{1} (x^2 + x)\,dx
\]

#### 第1積分：
\[
\int_{-2}^{1} (x^2 - 5)\,dx
\]
この積分は、2つの積分に分解できます：
\[
\int_{-2}^{1} x^2\,dx - \int_{-2}^{1} 5\,dx
\]

まずは各積分を計算します。

1. \(\int_{-2}^{1} x^2\,dx\)
\[
= \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{1} = \left( \frac{1^3}{3} \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} \right) = \frac{1}{3} - \left( \frac{-8}{3} \right) = \frac{9}{3} = 3
\]

2. \(\int_{-2}^{1} 5\,dx\)
\[
= 5 \times \left[ x \right]_{-2}^{1} = 5 \times (1 - (-2)) = 5 \times 3 = 15
\]

したがって、最初の積分の結果は：
\[
\int_{-2}^{1} (x^2 - 5)\,dx = 3 - 15 = -12
\]

#### 第2積分：
\[
2 \int_{-2}^{1} (x^2 + x)\,dx
\]
この積分も2つに分解します：
\[
2 \left( \int_{-2}^{1} x^2\,dx + \int_{-2}^{1} x\,dx \right)
\]

すでに \(\int_{-2}^{1} x^2\,dx = 3\) であることがわかっているので、残りの積分を計算します。

3. \(\int_{-2}^{1} x\,dx\)
\[
= \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{-2}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{(-2)^2}{2} = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2}
\]

したがって、第2積分は：
\[
2 \left( 3 + \left(-\frac{3}{2}\right) \right) = 2 \times \frac{3}{2} = 3
\]

#### 最終結果：
\[
I_1 = -12 + 3 = -9
\]

---

### 問題 2
\[
I_2 = \int_{0}^{1} (3x^2 - x)\,dx + \int_{1}^{2} (3x^2 - x)\,dx
\]

#### 第1積分：
\[
\int_{0}^{1} (3x^2 - x)\,dx
\]
これは2つの積分に分けて計算します。

1. \(\int_{0}^{1} 3x^2\,dx = \left[ x^3 \right]_{0}^{1} = 1\)
2. \(\int_{0}^{1} -x\,dx = \left[ \frac{-x^2}{2} \right]_{0}^{1} = -\frac{1}{2}\)

したがって：
\[
\int_{0}^{1} (3x^2 - x)\,dx = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}
\]

#### 第2積分：
\[
\int_{1}^{2} (3x^2 - x)\,dx
\]

1. \(\int_{1}^{2} 3x^2\,dx = \left[ x^3 \right]_{1}^{2} = 8 - 1 = 7\)
2. \(\int_{1}^{2} -x\,dx = \left[ \frac{-x^2}{2} \right]_{1}^{2} = -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}\)

したがって：
\[
\int_{1}^{2} (3x^2 - x)\,dx = 7 - \frac{3}{2} = \frac{11}{2}
\]

#### 最終結果：
\[
I_2 = \frac{1}{2} + \frac{11}{2} = 6
\]

---

### 問題 3
\[
I_3 = \int_{-1}^{4} (x^2 - 2x + 3)\,dx - \int_{2}^{4} (x^2 - 2x + 3)\,dx
\]

#### 第1積分：
\[
\int_{-1}^{4} (x^2 - 2x + 3)\,dx
\]

1. \(\int_{-1}^{4} x^2\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{4} = \left( \frac{64}{3} - \left( -\frac{1}{3} \right) \right) = \frac{65}{3}\)
2. \(\int_{-1}^{4} -2x\,dx = \left[ -x^2 \right]_{-1}^{4} = -16 - (-1) = -15\)
3. \(\int_{-1}^{4} 3\,dx = 3 \times (4 - (-1)) = 15\)

したがって：
\[
\int_{-1}^{4} (x^2 - 2x + 3)\,dx = \frac{65}{3} - 15 + 15 = \frac{65}{3}
\]

#### 第2積分：
\[
\int_{2}^{4} (x^2 - 2x + 3)\,dx
\]

1. \(\int_{2}^{4} x^2\,dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{2}^{4} = \frac{64}{3} - \frac{8}{3} = \frac{56}{3}\)
2. \(\int_{2}^{4} -2x\,dx = \left[ -x^2 \right]_{2}^{4} = -16 + 4 = -12\)
3. \(\int_{2}^{4} 3\,dx = 3 \times (4 - 2) = 6\)

したがって：
\[
\int_{2}^{4} (x^2 - 2x + 3)\,dx = \frac{56}{3} - 12 + 6 = \frac{56}{3} - 6 = \frac{38}{3}
\]

#### 最終結果：
\[
I_3 = \frac{65}{3} - \frac{38}{3} = \frac{27}{3} = 9
\]

---

### 最終答え
1. \( I_1 = -9 \)
2. \( I_2 = 6 \)
3. \( I_3 = 9 \)

質問があればどうぞ！  
次に取り組むための関連質問です：
1. 定積分と不定積分の違いは何ですか？
2. 定積分を使って面積を求める例を教えてください。
3. 複雑な関数の定積分を簡単に計算する方法はありますか？
4. 偏微分と定積分の違いは何ですか？
5. 定積分をグラフで視覚化する方法はありますか？

**Tip:** 定積分の結果は、計算範囲に応じて幾何学的な解釈が可能です。特に曲線とx軸の間の面積を表すことがよくあります。

Explore how to solve multiple definite integrals step-by-step. Includes detailed calculations for each integral problem and application of the Fundamental Theorem of Calculus. Ideal for college-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation