Claro, puedo calcular las características importantes de la ecuación cuadrática \( y = 2x^2 - 4x + 1 \).

### 1. **Vértice de la parábola:**

El vértice de una parábola dada por \( y = ax^2 + bx + c \) se encuentra en el punto:

\[
x = -\frac{b}{2a}
\]

Sustituyendo \( a = 2 \) y \( b = -4 \):

\[
x = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1
\]

Para encontrar la coordenada \( y \) del vértice, sustituimos \( x = 1 \) en la ecuación original:

\[
y = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = 2 - 4 + 1 = -1
\]

Entonces, el vértice de la parábola es el punto \((1, -1)\).

### 2. **Eje de simetría:**

El eje de simetría de la parábola es la línea vertical que pasa por el vértice, es decir:

\[
x = 1
\]

### 3. **Raíces de la ecuación cuadrática:**

Para encontrar las raíces, utilizamos la fórmula cuadrática:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Sustituyendo los valores:

\[
x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}
\]

\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{4}
\]

\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4}
\]

Simplificando \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\):

\[
x = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4}
\]

\[
x = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

Entonces, las raíces son:

\[
x_1 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad x_2 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}
\]

### 4. **Dirección de la parábola:**

Como \(a = 2 > 0\), la parábola abre hacia arriba.

### Resumen:

- **Vértice:** \((1, -1)\)
- **Eje de simetría:** \(x = 1\)
- **Raíces:** \(x_1 = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(x_2 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2}\)
- **Dirección:** Abre hacia arriba

¿Hay algo más que quieras saber?

### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se graficaría esta parábola en un plano cartesiano?
2. ¿Qué significa el valor de \(a\) en la ecuación cuadrática respecto a la forma de la parábola?
3. ¿Cómo se relacionan el vértice y el eje de simetría de una parábola?
4. ¿Cómo afecta el valor de \(c\) al punto de intersección con el eje \(y\)?
5. ¿Qué método alternativo podrías usar para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática?

**Consejo:** Para verificar tus cálculos, puedes graficar la ecuación y comprobar visualmente los puntos clave como el vértice y las raíces.

Aprende cómo calcular las características importantes de la ecuación cuadrática y = 2x^2 - 4x + 1. Encuentra el vértice de la parábola, el eje de simetría, las raíces y la dirección de la parábola con una solución detallada paso a paso. Problema matemático adecuado para estudiantes de Grados 10-12.

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