2. Para la ecuación de la parábola:
(y + 4) 2 = -32(x – 2); indicar coordenadas del
vértice, coordenadas del foco, ecuación de la
directriz.

Dada la ecuación de la parábola:

\[
(y + 4)^2 = -32(x - 2)
\]

Esta ecuación está en la forma estándar de una parábola horizontal:  
\[
(y - k)^2 = 4p(x - h)
\]
Donde:
- \((h, k)\) es el vértice de la parábola,
- \(p\) es la distancia entre el vértice y el foco (también determina la posición de la directriz).

### 1. Coordenadas del vértice
Comparando \((y + 4)^2 = -32(x - 2)\) con la forma estándar, podemos identificar:
- \(h = 2\),
- \(k = -4\).

Por lo tanto, las coordenadas del vértice son \((2, -4)\).

### 2. Valor de \(p\)
En la forma estándar, \(4p = -32\), por lo que podemos resolver para \(p\):
\[
4p = -32 \quad \Rightarrow \quad p = \frac{-32}{4} = -8
\]

El valor negativo de \(p\) indica que la parábola se abre hacia la izquierda.

### 3. Coordenadas del foco
El foco está a una distancia \(p\) del vértice, en la misma dirección en que se abre la parábola. Como la parábola se abre hacia la izquierda (por el signo negativo de \(p\)), debemos restar \(p = -8\) a la coordenada \(x\) del vértice:

\[
\text{Foco} = (h + p, k) = (2 - 8, -4) = (-6, -4)
\]

Por lo tanto, las coordenadas del foco son \((-6, -4)\).

### 4. Ecuación de la directriz
La directriz es una línea vertical situada a una distancia \(p\) del vértice, pero en la dirección opuesta al foco. Como \(p = -8\), sumamos \(8\) a la coordenada \(x\) del vértice para obtener la ecuación de la directriz:

\[
x = h - p = 2 + 8 = 10
\]

Por lo tanto, la ecuación de la directriz es \(x = 10\).

### Resumen:
- **Vértice**: \((2, -4)\)
- **Foco**: \((-6, -4)\)
- **Ecuación de la directriz**: \(x = 10\)

¿Te gustaría detalles adicionales o alguna otra explicación?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se determina la forma de la parábola si se abre hacia arriba, abajo, izquierda o derecha?
2. ¿Qué papel juega el parámetro \(p\) en la forma y la orientación de una parábola?
3. ¿Cómo cambiaría la ecuación si la parábola se abriera hacia arriba?
4. ¿Qué significan los diferentes signos en el término \(4p(x - h)\) para la orientación de la parábola?
5. ¿Cómo se puede deducir la ecuación de la directriz de una parábola con una ecuación general?

**Tip**: El valor de \(p\) no solo determina la apertura de la parábola, sino también su concavidad y hacia qué dirección se abre (positivo o negativo).

Para la ecuación de la parábola: (y + 4) 2 = -32(x – 2); indicar coordenadas del vértice, coordenadas del foco, ecuación de la directriz.

Aprende a encontrar las coordenadas del vértice, foco y la ecuación de la directriz para la parábola dada por (y + 4)^2 = -32(x - 2). Este problema incluye conceptos clave de secciones cónicas y geometría de coordenadas, y es adecuado para estudiantes de grados 10-12.

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