Halle el ángulo agudo formado por las rectas
dadas por las ecuaciones
4x 9y 1 0 − + = ,
3x 2y 1 0

Para hallar el ángulo agudo formado por dos rectas dadas por sus ecuaciones, primero necesitamos determinar las pendientes de cada recta y luego usar una fórmula que relacione dichas pendientes con el ángulo entre ellas.

Las ecuaciones de las rectas son:

1. \( 4x - 9y - 1 = 0 \)
2. \( 3x + 2y - 1 = 0 \)

### Paso 1: Expresar las ecuaciones en la forma pendiente-ordenada al origen
Queremos poner las ecuaciones en la forma \( y = mx + b \), donde \( m \) es la pendiente.

1. **Primera recta:**
   \[
   4x - 9y - 1 = 0 \implies -9y = -4x + 1 \implies y = \frac{4}{9}x - \frac{1}{9}
   \]
   Por lo tanto, la pendiente de la primera recta es \( m_1 = \frac{4}{9} \).

2. **Segunda recta:**
   \[
   3x + 2y - 1 = 0 \implies 2y = -3x + 1 \implies y = -\frac{3}{2}x + \frac{1}{2}
   \]
   Entonces, la pendiente de la segunda recta es \( m_2 = -\frac{3}{2} \).

### Paso 2: Usar la fórmula para el ángulo entre dos rectas
El ángulo \( \theta \) entre dos rectas cuyas pendientes son \( m_1 \) y \( m_2 \) está dado por la fórmula:
\[
\tan(\theta) = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|
\]
Sustituyendo las pendientes:
\[
\tan(\theta) = \left| \frac{\frac{4}{9} - \left(-\frac{3}{2}\right)}{1 + \frac{4}{9} \cdot \left(-\frac{3}{2}\right)} \right|
\]
Calculamos cada término.

\[
\tan(\theta) = \left| \frac{\frac{4}{9} + \frac{3}{2}}{1 - \frac{12}{18}} \right| = \left| \frac{\frac{8}{18} + \frac{27}{18}}{\frac{6}{9}} \right| = \left| \frac{\frac{35}{18}}{\frac{2}{3}} \right| = \left| \frac{35}{18} \cdot \frac{3}{2} \right| = \left| \frac{105}{36} \right| = \frac{35}{12}
\]

Por lo tanto,
\[
\tan(\theta) = \frac{35}{12}
\]

### Paso 3: Encontrar el ángulo
Ahora, hallamos el ángulo \( \theta \) tomando el valor inverso de la tangente:
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{35}{12}\right)
\]

Calculamos este valor:

\[
\theta \approx 71.57^\circ
\]

Dado que nos piden el ángulo **agudo**, lo dejamos como \( \theta \approx 71.57^\circ \).

¿Te gustaría detalles adicionales o tienes alguna duda?

### Preguntas relacionadas:
1. ¿Cómo se calculan las pendientes a partir de las ecuaciones de rectas?
2. ¿Cuál es la relación entre la tangente y el ángulo entre dos rectas?
3. ¿Por qué el valor calculado corresponde al ángulo agudo?
4. ¿Cómo se transforma una ecuación general de una recta a la forma pendiente-ordenada?
5. ¿Qué sucede si las rectas son perpendiculares o paralelas?

**Tip:** Al calcular ángulos entre rectas, es importante verificar si el resultado corresponde al ángulo agudo o al obtuso.

Halle el ángulo agudo formado por las rectas dadas por las ecuaciones 4x - 9y - 1 = 0 y 3x + 2y - 1 = 0.

Aprende a calcular el ángulo agudo entre dos rectas a partir de sus ecuaciones 4x - 9y - 1 = 0 y 3x + 2y - 1 = 0. Este problema incluye conceptos de geometría analítica como pendientes y el uso de la fórmula de tangente para ángulos entre rectas. Nivel: Grados 10-12.

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