Encuentra el ángulo entre el par de líneas, redondea tu respuesta a la centésima más cercana si es necesario: Línea A: x+2y=-3, Línea B: 5x-4y+3=0, Angulo entre ambas líneas: ?

Para encontrar el ángulo entre dos líneas dadas por sus ecuaciones, necesitamos calcular las pendientes de ambas líneas y luego usar la fórmula para el ángulo entre dos líneas en función de sus pendientes.

### Paso 1: Encontrar las pendientes de las líneas

La pendiente \(m\) de una línea en la forma general \(Ax + By + C = 0\) se puede calcular como:
\[
m = -\frac{A}{B}
\]

1. **Línea A: \(x + 2y = -3\)**

   Reescribimos la ecuación en la forma general:
   \[
   x + 2y + 3 = 0
   \]
   Aquí, \(A = 1\) y \(B = 2\).

   La pendiente de la Línea A es:
   \[
   m_1 = -\frac{1}{2}
   \]

2. **Línea B: \(5x - 4y + 3 = 0\)**

   Aquí, \(A = 5\) y \(B = -4\).

   La pendiente de la Línea B es:
   \[
   m_2 = -\frac{5}{-4} = \frac{5}{4}
   \]

### Paso 2: Calcular el ángulo entre las dos líneas

La fórmula para encontrar el ángulo \(\theta\) entre dos líneas con pendientes \(m_1\) y \(m_2\) es:
\[
\tan(\theta) = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|
\]

Sustituyendo las pendientes:
\[
\tan(\theta) = \left| \frac{\frac{5}{4} - \left(-\frac{1}{2}\right)}{1 + \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot \frac{5}{4}} \right|
\]

Simplificando el numerador y el denominador:
\[
\tan(\theta) = \left| \frac{\frac{5}{4} + \frac{1}{2}}{1 - \frac{5}{8}} \right|
\]

Convertimos \(\frac{1}{2}\) a cuartos para sumar:
\[
\tan(\theta) = \left| \frac{\frac{5}{4} + \frac{2}{4}}{1 - \frac{5}{8}} \right| = \left| \frac{\frac{7}{4}}{\frac{3}{8}} \right|
\]

Simplificando:
\[
\tan(\theta) = \left| \frac{7}{4} \times \frac{8}{3} \right| = \left| \frac{56}{12} \right| = \frac{14}{3}
\]

### Paso 3: Calcular el ángulo usando la tangente inversa

Ahora, encontramos \(\theta\) usando la tangente inversa:
\[
\theta = \arctan\left(\frac{14}{3}\right)
\]

Calculando esto y redondeando a la centésima más cercana:
\[
\theta \approx 78.69^\circ
\]

### Respuesta

El ángulo entre las dos líneas es aproximadamente **78.69 grados**.

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta sobre este problema?

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### Preguntas Relacionadas:

1. ¿Cómo se determina si dos líneas son perpendiculares a partir de sus pendientes?
2. ¿Qué ocurre con el ángulo entre dos líneas si sus pendientes son iguales?
3. ¿Cómo se encuentra la ecuación de una línea perpendicular a una línea dada?
4. ¿Cuál es la relación entre las pendientes de dos líneas paralelas?
5. ¿Cómo se puede representar una línea que pasa por dos puntos dados?

### Consejo:

Para resolver problemas de geometría analítica, es útil recordar que la pendiente de una línea y su intersección con los ejes son clave para entender su comportamiento en el plano.

Aprende cómo encontrar el ángulo entre dos líneas dadas por sus ecuaciones: Línea A: x+2y=-3 y Línea B: 5x-4y+3=0. Calcula el ángulo utilizando la fórmula específica y redondea la respuesta a la centésima más cercana si es necesario. Adecuado para estudiantes de Grados 10-12.

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